Geometry, Topology and Quantization

این یک مونوگراف در مورد ویژگی‌های هندسی و توپولوژیکی است که در روش‌های کوانتیزاسیون مختلف ایجاد می‌شوند. طرح‌های کوانتیزه‌سازی امکان‌پذیری رسیدن به یک سیستم کوانتومی از یک سیستم کلاسیک را در نظر می‌گیرند و این شامل سه روش اصلی است. i) کوانتیزه سازی هندسی، 2) کوانتیزه سازی کلادر، و 3) کمی سازی تصادفی. در کوانتیزاسیون هندسی، ما باید یک بسته خط هرمیتین را بگنجانیم تا عملگر کوانتومی همیلتونی را از یک تونین هامیل کلاسیک تولید کنیم. کوانتیشن کلادر نقش اتصال تک شکلی را همراه با استقلال مختصات در نظر می گیرد. در کوانتیزاسیون تصادفی که توسط نلسون ارائه شده است، معادله شرودینگر از فرآیندهای حرکت براونی مشتق شده است. با این حال، ما در تعمیم نسبیتی آن مشکل داریم. توسط چندین نویسنده اشاره شده است که ممکن است با فرمول‌بندی یک هندسه جدید که در آن فرآیندهای حرکت براونی در فضای بیرونی و درونی در نظر گرفته می‌شوند و وقتی فضا-زمان پیچیده در نظر گرفته می‌شود، فرمول انتگرال مسیر معمولی به دست می‌آید، دور زد. . هنگامی که این متغیر فضای داخلی به عنوان بردار جهتی در نظر گرفته شود که ناهمسانگردی را در فضای داخلی معرفی می کند، کوانتیزه شدن یک میدان فرمی را داریم. این به ما کمک می کند تا یک فرمالیسم فضای فاز تصادفی را زمانی که پسوند داخلی می تواند به عنوان یک بسط نظری سنج در نظر گرفته شود، فرموله کنیم. این نشان می دهد که فرمیون های عظیم ممکن است به عنوان سالیتون های Skyrme در نظر گرفته شوند. مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی در حد نقطه تیز به دست می آید.

This is a monograph on geometrical and topological features which arise in various quantization procedures. Quantization schemes consider the feasibility of arriving at a quantum system from a classical one and these involve three major procedures viz. i) geometric quantization, ii) Klauder quantization, and iii) stochastic quanti­ zation. In geometric quantization we have to incorporate a hermitian line bundle to effectively generate the quantum Hamiltonian operator from a classical Hamil­ tonian. Klauder quantization also takes into account the role of the connection one-form along with coordinate independence. In stochastic quantization as pro­ posed by Nelson, Schrodinger equation is derived from Brownian motion processes; however, we have difficulty in its relativistic generalization. It has been pointed out by several authors that this may be circumvented by formulating a new geometry where Brownian motion proceses are considered in external as well as in internal space and, when the complexified space-time is considered, the usual path integral formulation is achieved. When this internal space variable is considered as a direc­ tion vector introducing an anisotropy in the internal space, we have the quantization of a Fermi field. This helps us to formulate a stochastic phase space formalism when the internal extension can be treated as a gauge theoretic extension. This suggests that massive fermions may be considered as Skyrme solitons. The nonrelativistic quantum mechanics is achieved in the sharp point limit.