Géométrie et relativité

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INTR0DUCTION......Page 3
TABLE DES MATIÈRES......Page 9
PREMIÈRE PARTIE : GÉOMÉTRIE......Page 17
1 Recueils : Opérateurs - prérecueils - prolongement - recueils......Page 19
2 Espaces et univers : Glissements - topologie d\'un espace - sous-espaces - exemples - théorèmes de prolongement......Page 25
3 Structure globale : Isomorphismes d\'espaces - structure globale - glissements globaux......Page 34
4 Structure locale : Isomorphismes et automorphismes locaux - structure locale d\'un univers - perfection......Page 36
5 Passage du local au global : Construction d\'univers localement isomorphes à un univers-type - conditions d\'unicité - exemples......Page 41
6 Quotients d\'opérateurs : Opérateurs divisibles et multiples - opérateurs permis et tolérés......Page 45
7 Définition des espaces fibrés : Espace fibré - projection - base - sous-fibration......Page 50
8 Groupe structural - jauge : Articles - structures invariantes des fibres - glissements de jauge - groupe structural et groupe de jauge......Page 54
9 Espaces fibrés principaux : Définition - cas des univers......Page 57
10 Revêtements : Groupes discrets - feuillets - prolongement d\'un espace par un revêtement - définition d\'un revêtement par une famille d\'ouverts et un groupe - théorèmes de relèvement - espaces simples et simplement connexes - revêtement universel - groupe de Poincaré - application aux glissements globaux - cas de l\'espace R^n et des tores - lacets......Page 58
11 Germes : Germes et cogermes - groupe des germes de glissements en un point - groupe d\'imperfection......Page 77
12 Racines : Axiomes des racines - cas des espaces fibrés sans jauge - fibres - groupe structural - structures invariantes......Page 82
13 Variance : Homomorphismes et isomorphismes de racines .. variance......Page 86
14 Classification des racines : Racines et représentations du groupe des germes - noyau d\'une racine - racines triviales - racine des cogermes de glissements - racines subordonnées......Page 91
15 Champs : Phi-champs - image d\'un champ par un glissement - familles stables et invariantes de champs - champs invariants - cas des univers-groupes......Page 96
16 Constructions de racines : Changement de recueil - sous-racines - racines irréductibles - juxtaposition de racines - produit direct de racines - racines d\'opérateurs - racines principales......Page 103
17 Notations matricielles : Clefs matricielles - colonnes - lignes - matrices - bases - dimension......Page 115
18 Opérateurs différentiables : Définition - notation D(F)(X) - opérateurs p fois différentiables - recueils C^p, etc......Page 119
19 Variélés : Recueils classiques - définition des variétés - glissements - cartes - cocartes - changeurs de cartes - exemples de variétés - produit direct de variétés - partitions de l\'unité - prolongement canonique des racines - racines d\'ordre fini......Page 124
20 Variétés différentiables : Espace vectoriel tangent - applications différentiables de variétés - plongements - produit de variétés différentiables - espaces fibrés à fibres différentiables - racines et champs différentiables......Page 135
21 Champs de vecteurs : Variables et dérivations - notation différentielle - crochets de Lie......Page 149
22 Équations différentielles : Équations différentielles sur une variété - exponentielle d\'un champ de vecteurs - cas des champs différentiables - variations d\'une équation différentielle - condition de commutation des exponentielles - formulaire (cas linéaire)......Page 157
23 Dérivée de Lie : Glissements infinitésimaux - dérivée de Lie d\'un champ - champs invariants - cas des homomorphismes de racines - cas des champs à fibres vectorielles......Page 170
24 Racines d\'ordre 1 : Définition - racines triviales - champs de bases - représentation dans une base naturelle - pseudo-scalaires -indices - orientations - variétés orientées et orientables - densités - covecteurs - affineurs......Page 181
25 Tenseurs : Définition - composantes dans uue base - produit tensoriel - symétries et caractères - image réciproque d\'un tenseur covariant - image d\'un tenseur contravariant - racines tensorielles - tenseurs invariants - opérateurs linéaires transformant les tenseurs en tenseurs - contractions - dérivée de Lie d\'un champ de tenseurs......Page 194
26 Algèbre extérieure : p-formes - jauges - formes non homogènes - produit intérieur et extérieur - multiplication extérieure -formulaire......Page 219
27 Dérivation extérieure : Champs de formes - dérivation extérieure - formulaire - expression de la dérivée de Lie à l\'aide de la dérivée extérieure - dérivée extérieure d\'une image réciproque, d\'une image directe - théorème de Poincaré - réciproque - périodes d\'une 1-forme fermée......Page 229
28 Dérivation covariante : Dérivation covariante dans un champ de bases - formulaire - torsion d\'un champ de bases - connexions -torsion d\'une connexion - racine des connexions - symboles de Christoffel - formulaire - champs de connexions - géodésiques - courbure -cas de la courbure nulle (groupe d\'holonomie) - tenseur de Riemann-Christoffel......Page 242
29 Espaces euclidiens : Produit scalaire - transposition - changement de variance des tenseurs - orthogonalité - formes d\'un espace euclidien - jauge euclidienne, multiplicateur - forme adjointe - groupe orthogonal - indice d\'inertie - norme - cas des espaces hyperboliques normaux......Page 263
30 Variétés riemanniennes : Définition - densité et jauge riemanniennes - connexion riemannienne - vecteurs de Killing - divergence d\'un tenseur - courbure riemannienne - laplacien d\'une forme......Page 277
31 Intégrales multiples : p-mesures - image d\'une mesure - support - bord - intérieur - chaines - homologie - changement de variables dans les intégrales multiples - formule de Stokes - dérivation des intégrales - pavés - intégrale d\'une densité - densités sommables......Page 289
DEUXIÈME PARTIE: RELATIVITÉ......Page 311
32 A propos des principes de la physique : Structure géométrique de l\'univers - matière et champ - la physique dérive-t-elle d\'un principe variationnel ?......Page 313
33 Principes de la relativité générale : Structure riemannienne, présence, principe variationnel - hypothèses de différentiabilité......Page 318
34 Théorèmes généraux de la relativité : Cartes spéciales - équations aux variations - théorèmes de conservation - tenseur d\'énergie......Page 326
35 La gravitation : Hypothèse géométrique - présence de la gravitation - identité de la gravitation et de la connexion riemanienne - démonstration de l\'équation d\'Einstein......Page 336
36 La matière parfaite : Définition - lignes de courant - conformation - courant de matière - présence, équations et énergie de la matière parfaite - cas des fluides parfaits : densité, pression - écoulements irrotationnels des fluides homogènes - cas de la poussière - principe des géodésiques......Page 343
37 La lumière : Hypothèses géométriques - hypothèse de l\'invariance de jauge - établissement des équations de Maxwell - calcul du tenseur d\'énergie de la lumière - étude phénoménologique des interactions lumière-matière - conservation de l\'électricité......Page 353
38 Passage à la relativité restreinte : Hypothèses globales en relativité générale - l\'approximation de la relativité restreinte -recueil de Lorentz, géométrie de la relativité restreinte (cas séparé et cas non séparé) - problème de la parité - champs en relativité restreinte......Page 361
39 Passage à la physique classique : Espace et temps définis par un solide - décomposition électro-magnétique de la lumière -approximation classique de la matière parfaite : déduction de la théorie de l\'élasticité et de la dynamique classique: masse, énergie, impulsion, moment cinétique, centre de gravité, déformation, contrainte - principe d\'Hamilton - structure fibrée de I\'espace-temps classique - équivalence relativiste de la masse et de l\' énergie - interprétation classique de la gravitation : lois de Newton, effet Einstein, déviation des rayons lumineux......Page 368
40 Principes et théorèmes généraux : Hypothèse d\'un univers U ayant la dimension 5 et le groupe de Poincaré Z - revêtement universel de U - étude des glissements globaux, conjugaisons de charge......Page 385
41 Approximations quadridimensionnelles : Passage à la relativité restreinte : interprétation du groupe de Lorentz, du groupe de jauge électromagnétique et des conjugaisons de charge; problèmes d\'orientation à 3, 4 et 5 dimensions - Approximation de Jordan-Thiry : cartes standard, représentations quadridimensionnelles des champs; cas du champ riemannien, potentiel électromagnétique; cartes transversales, invariants de jauge; cas des connexions; interprétation pentadimensionnelle de l\'électricité et de la lumière; approximation de Kaluza-Klein......Page 388
42 Champ scalaire à 5 dimensions : Équations du champ - interprétation quadridimensionnelle : déduction de l\'équation de Klein-Gordon en présence du champ électromagnétique - quantification de la charge électrique - interprétation des conjugaisons de charge et des transformations de jauge......Page 407
43 Espaces quaternioniques : Corps des quaternions - espaces vectoriels quaternioniques - espaces euclidiens quaternioniques......Page 412
44 Spineurs : Algèbres d\'opérateurs - structure des algèbres irréductibles - algèbres de Dirac et de Clifford - construction des algèbres de Dirac irréductibles - matrices de Pauli, Cayley, Dirac, Majorana - groupe de Clifford, représentation de spin......Page 416
45 Équations de Dirac : Dérivation covariante des spineurs - Laplacien d\'un spineur - équation de Dirac à 5 dimensions - interprétation quadridimensionnelle - électrons et neutrinos......Page 446
Note I : Monoïdes......Page 463
Note II : Calcul du groupe de Poincaré......Page 467
Note III : Particules vectorielles chargées......Page 471
INDEX......Page 477
NOTATIONS......Page 507