Geometrie analytique classique

Table des matières......Page 009.djvu
Avant-propos......Page 017.djvu
Présentation......Page 029.djvu
1. Rappels et conventions......Page 033.djvu
2.1. Notion de coordonnées barycentriques......Page 035.djvu
2.2. Lien avec les coordonnées cartésiennes......Page 036.djvu
2.3. Interprétation de l’égalité x + y + z = 0......Page 037.djvu
3.1. Aires et coordonnées barycentriques......Page 039.djvu
3.3. Le point de Lemoine......Page 041.djvu
3.4. Les coordonnées trilinéaires......Page 042.djvu
4.1. Notion d’équation barycentrique......Page 043.djvu
4.2. Équations barycentriques des droites......Page 044.djvu
4.4. Parallélisme de droites......Page 046.djvu
5.1. Condition d’alignement de trois points......Page 047.djvu
5.2.2. Cas des droites d’un faisceau linéaire......Page 049.djvu
5.3. Condition de concours de trois droites......Page 051.djvu
6. Cas particuliers......Page 052.djvu
7.1. La formule matricielle......Page 054.djvu
7.2. Vecteurs propres et points fixes......Page 055.djvu
7.4. Les homothéties-translations......Page 056.djvu
7.5.1. Définition du cercle d’Euler......Page 058.djvu
8. Changement de triangle de référence......Page 060.djvu
9. Un exemple d’homographie : l’inversion harmonique......Page 062.djvu
10.1. Les (!) centres de gravité......Page 067.djvu
10.3. L’orthocentre......Page 069.djvu
10.4. Le centre du cercle d’Euler......Page 072.djvu
10.5. Les centres des cercles (ex)inscrits......Page 073.djvu
10.6. Pour ne pas en rester là......Page 074.djvu
1. Introduction......Page 077.djvu
2. Étude des coniques circonscrites......Page 078.djvu
2.1. Les coniques circonscrites......Page 079.djvu
2.2. Cinq points définissent une conique......Page 080.djvu
2.3. Un petit Nullstellensatz......Page 083.djvu
2.4. Le centre d’une conique circonscrite......Page 087.djvu
2.6. Les tangentes à une conique circonscrite......Page 091.djvu
2.7. La conjugaison (harmonique) par rapport à une conique......Page 093.djvu
2.8. Les asymptotes d’une hyperbole circonscrite......Page 098.djvu
2.9.1. Milieux de cordes......Page 100.djvu
2.9.2. Conjugaison et bilinéarité......Page 103.djvu
2.9.3. Conjugaison et polarité......Page 104.djvu
2.9.4. Le cas particulier des cercles......Page 105.djvu
2.10. L’équation barycentrique du cercle circonscrit......Page 106.djvu
2.12. Les cercles du plan......Page 107.djvu
2.13. L’axe radical de deux cercles. Version algébrique......Page 108.djvu
2.14. Cercles possédant un triangle autopolaire donné......Page 114.djvu
3.1. Le théorème de Pascal......Page 117.djvu
3.2. Un déterminant impressionnant… en apparence......Page 122.djvu
4.1. Le théorème de Carnot......Page 124.djvu
4.2.1. Généralités......Page 128.djvu
4.2.3. La droite de Simson et l’hypocycloïde de Steiner......Page 130.djvu
4.2.4. Deux constructions préparatoires......Page 135.djvu
4.2.5. Le H₃ par la face Nord : le problème P₁......Page 138.djvu
4.2.6. Le H₃ par la face Sud : le problème P₂......Page 141.djvu
4.2.7. En guise de conclusion......Page 145.djvu
1.1. Définition......Page 149.djvu
1.2. Cas particuliers......Page 151.djvu
2. Droites, coniques et inversion isotomique......Page 154.djvu
2.1. L’inverse isotomique d’une droite cévienne......Page 155.djvu
2.2. L’inverse isotomique d’une droite non cévienne......Page 156.djvu
3.1. Combien de paraboles par quatre points......Page 158.djvu
3.2. Secrets de fabrication. Les triangles autopolaires......Page 160.djvu
3.3. Le quatrième point commun à deux coniques......Page 161.djvu
4.1. La polaire triangulaire (ou trilinéaire)......Page 162.djvu
4.2.2. Dualité et constructions géométriques......Page 167.djvu
4.2.3. Propriétés de la dualité......Page 168.djvu
5. Définition de l’inversion isogonale......Page 169.djvu
5.1. La preuve géométrique......Page 170.djvu
5.2. La preuve par les homographies......Page 171.djvu
5.3. Premières propriétés......Page 172.djvu
6. Des couples célèbres......Page 174.djvu
7.1. L’inverse isogonal d’une droite cévienne......Page 177.djvu
7.2. L’inverse isogonal d’une droite non cévienne......Page 178.djvu
8.1. Propriétés générales......Page 180.djvu
8.2. Théorème de Pascal et hyperboles équilatères......Page 185.djvu
9.1. Les deux inversions......Page 186.djvu
9.2. Des triangles d’aires égales......Page 190.djvu
1. Faisceaux linéaires de coniques circonscrites......Page 193.djvu
1.1.1. Faisceaux et inversion isogonale......Page 194.djvu
1.1.2. La conique des neuf points......Page 195.djvu
1.2. Les faisceaux de coniques tangentes......Page 201.djvu
1.3. Coniques remarquables d’un faisceau......Page 205.djvu
1.4. Le point de Frégier......Page 208.djvu
1.5. Une belle figure......Page 210.djvu
2.1. Discussion de l’existence d’un triangle autopolaire commun......Page 216.djvu
2.2. Le cas des cercles et le théorème de Feuerbach......Page 219.djvu
2.3.1. Faisceaux et involutions quadratiques......Page 227.djvu
2.3.2. Application à l’inversion isogonale......Page 230.djvu
3.1. Une brève présentation des points cycliques......Page 232.djvu
3.2. Coordonnées barycentriques des points cycliques......Page 233.djvu
3.3. Foyers d’une conique inscrite......Page 235.djvu
3.4. Foyers des coniques tangentes à quatre droites......Page 237.djvu
1.1. Présentation du chapitre......Page 247.djvu
1.2. Conventions et rappels de notations......Page 248.djvu
2. Généralités......Page 249.djvu
3.1. L’aire d’un triangle......Page 251.djvu
3.2. Quelques points et une configuration remarquables......Page 252.djvu
3.3. Symétries et projections orthogonales......Page 254.djvu
4.1. Intersection de droites et polarité......Page 255.djvu
4.2. L’astuce de Morley......Page 256.djvu
4.3. Un peu de théorie de Galois......Page 258.djvu
4.4. Huit exercices......Page 259.djvu
5.1. Généralités......Page 263.djvu
5.2. Homographies stabilisant le cercle-unité......Page 266.djvu
5.4. Les involutions de Frégier de U......Page 267.djvu
5.5.1. Le cas β ≠ 0......Page 269.djvu
6. Le théorème de Pascal......Page 270.djvu
7. L’inversion......Page 272.djvu
7.1. Définition......Page 273.djvu
7.2. Le théorème de Ptolémée......Page 274.djvu
8.1. Caractérisation des triangles équilatéraux par les affixes des sommets......Page 275.djvu
8.3. Quelques propriétés......Page 276.djvu
8.4. La configuration de Fermat-Torricelli......Page 278.djvu
8.5.1. La fonction de Fermat......Page 283.djvu
8.5.2. L’orthologie......Page 286.djvu
8.5.3. Orthologie et isogonalité......Page 287.djvu
9.1. Les homographies en tant qu’applications conformes......Page 289.djvu
9.3. Homographies, droites et cercles......Page 291.djvu
9.4. Arcs capables et cercles d’Apollonius......Page 295.djvu
9.5.1. Définition et formules......Page 297.djvu
9.5.2. Birapport et permutations......Page 299.djvu
9.5.3. Birapport et homographies......Page 304.djvu
9.5.4. Les homographies, les involutions et leurs points fixes......Page 305.djvu
9.5.5. Birapport, droites et cercles......Page 309.djvu
9.5.6. Les quadrangles harmoniques......Page 310.djvu
9.5.7. Harmonie, formes quadratiques et trace......Page 316.djvu
9.5.8. Les quadrangles équiharmoniques......Page 322.djvu
9.5.9. Formule des six birapports et applications......Page 323.djvu
10.1. Les exercices du paragraphe V-4......Page 325.djvu
10.2. Les exercices du paragraphe V-9......Page 331.djvu
10.3. L’exercice du paragraphe V-9.5.6......Page 335.djvu
10.4. L’exercice du paragraphe V-9.5.9......Page 337.djvu
VI. Les cercles du plan euclidien......Page 339.djvu
1.1. Polynômes et équations formelles......Page 340.djvu
1.2. La forme quadratique fondamentale......Page 341.djvu
1.3. Interprétation projective......Page 344.djvu
1.4. Orthogonalité, contact, intersection, équation tangentielle......Page 346.djvu
1.5. Homographies et forme quadratique fondamentale......Page 352.djvu
1.6. La démonstration en suspens......Page 356.djvu
1.7. Résumé des principaux résultats de ce paragraphe......Page 358.djvu
2. L’axe radical. Version géométrique......Page 359.djvu
2.1. Puissance d’un point par rapport à un cercle......Page 360.djvu
2.2. Cercles laissés stables par une inversion......Page 362.djvu
2.3. L’axe radical de deux cercles......Page 365.djvu
3.1. Définition et classification......Page 367.djvu
3.2. Propriétés algébriques des faisceaux......Page 373.djvu
3.3.1. Cercle d’un faisceau passant par un point......Page 378.djvu
3.3.2. Cercle d’un faisceau ayant un centre donné......Page 380.djvu
3.3.3. Cercles d’un faisceau tangents à une droite donnée......Page 381.djvu
3.3.4. Centres d’homothétie et faisceaux......Page 387.djvu
3.4.1. Prolégomènes algébriques......Page 389.djvu
3.4.2. Étude géométrique......Page 390.djvu
3.4.3. Applications......Page 393.djvu
4.1. Les coniques reviennent......Page 395.djvu
4.2. Un détour par les enveloppes de cercles......Page 400.djvu
4.3. Une chaîne de cercles......Page 402.djvu
4.4.1. La preuve classique......Page 404.djvu
4.4.2. Une preuve algébrique......Page 406.djvu
4.4.3. Pour aller plus loin......Page 409.djvu
5.2. Les trois faisceaux d’Apollonius......Page 413.djvu
5.4. Pour terminer en beauté......Page 416.djvu
6.1. L’exercice du VI-2.3......Page 422.djvu
6.2. L’exercice du VI-3.1......Page 425.djvu
6.3. Les exercices du VI-3.3.3......Page 427.djvu
6.4. L’exercice du VI-3.4.2......Page 429.djvu
1. Vecteurs et coordonnées barycentriques......Page 433.djvu
2. Nombre de droites de Simson passant par un point donné......Page 436.djvu
3.1. Retour vers la classification des coniques......Page 438.djvu
3.2. Caractérisation des hyperboles et de leurs asymptotes......Page 439.djvu
4.1. Représentation paramétrique d’une conique circonscrite......Page 442.djvu
4.2. Un cas particulier du théorème de Bezout......Page 443.djvu
4.3. Le théorème de Pascal......Page 445.djvu
5.2. L’équation d’une tangente......Page 447.djvu
5.3. Tangentiel et inversion isogonale......Page 449.djvu
5.4.1. Généralités......Page 453.djvu
5.4.2. Dualité, équations barycentriques et équations tangentielles......Page 456.djvu
5.4.3. Dualité et théorème de Brianchon......Page 457.djvu
5.4.4. Le cas des coniques inscrites......Page 458.djvu
5.4.5. Retour sur un exercice......Page 460.djvu
5.4.6. Équations tangentielles et lieux orthoptiques......Page 461.djvu
5.5.1. Introduction......Page 464.djvu
6. Étude de la famille F de la section VI-5.4......Page 466.djvu
7.1. Énoncé......Page 473.djvu
7.2. Corrigé......Page 475.djvu
7.3.1. La question de l’angle obtus......Page 480.djvu
7.3.2. Le cas des cercles tangents......Page 481.djvu
7.3.3. La circonscription harmonique......Page 485.djvu
7.3.4. Le cas du parallélisme de BB' et de CC'......Page 487.djvu
1.1. Espaces affines......Page 489.djvu
1.2. Sous-espaces affines......Page 490.djvu
1.3. Notion de bipoint......Page 491.djvu
1.4. Applications affines......Page 492.djvu
1.6. Bijections affines......Page 493.djvu
1.7. L’espace des applications affines......Page 495.djvu
1.8. Les espaces affines, canal historique......Page 496.djvu
2.1. Notions de base et de repère affines......Page 501.djvu
2.3. Équations d’un sous-espace affine......Page 502.djvu
3.1. Barycentre d’une famille finie de points massiques......Page 503.djvu
3.3. Condition d’alignement......Page 505.djvu
3.4. Équations barycentriques de droites......Page 506.djvu
4.1. Complétion projective d’un espace affine......Page 507.djvu
4.2. Homographies......Page 510.djvu
4.3.1. Les supplémentaires d’un sous-espace vectoriel......Page 511.djvu
4.3.2. Faisons le point grâce à deux exercices......Page 514.djvu
4.3.3. Un transport de structure......Page 515.djvu
4.3.4. Principe d’utilisation de ces constructions......Page 516.djvu
4.4. Complexification d’un espace vectoriel réel......Page 517.djvu
4.5. Complexification d’un espace affine réel......Page 518.djvu
4.7. Espaces affines réels euclidiens......Page 519.djvu
4.8. Complétion projective complexe d’un espace affine euclidien......Page 520.djvu
4.9. Retour sur le cercle circonscrit et les points cycliques......Page 522.djvu
4.10. Coniques affines et coniques projectives......Page 525.djvu
4.11. À quoi bon......Page 527.djvu
Bibliographie......Page 529.djvu
Notations......Page 531.djvu
Index......Page 533.djvu