Geometric Topology in Dimensions 2 and 3

توپولوژی هندسی را می‌توان تقریباً به عنوان شاخه‌ای از توپولوژی منیفولدها توصیف کرد که به سؤالات مربوط به وجود هومورفیسم‌ها می‌پردازد. فقط در سالهای نسبتاً اخیر این نوع توپولوژی به اندازه کافی توسعه یافته است که نامی برای آن گذاشته شود، اما شناسایی آغاز آن آسان است. اولین نتیجه کلاسیک قضیه SchOnflies (1910) بود، که ادعا می کند هر 1 کره در صفحه مرز یک سلول 2 است. در چند دهه بعد، قابل‌توجه‌ترین نتایج مثبت «قضیه شونفلیز» برای دو کره چند وجهی در فضا بود که توسط J. W. Alexander [Ad، اثبات شد و قضیه مثلث‌سازی برای 2 منیفولد، که توسط T. Rad6 [Rd اثبات شد. . اما چشمگیرترین نتایج دهه 1920 منفی بود. در سال 1921 لویی آنتوان [A] مقاله فوق‌العاده‌ای را منتشر کرد که در آن نشان داد انواع حدس‌های قابل قبول در توپولوژی 3-فضا نادرست هستند. بنابراین، یک مجموعه کانتور (توپولوژیکی) در 3 فضایی نیازی به یک مکمل متصل ساده ندارد. بنابراین یک مجموعه کانتور را می توان در 3 فضای حداقل به دو روش اساساً متفاوت جاسازی کرد. لازم نیست یک کره 2 توپولوژیکی در 3 فضای مرزی یک سلول 3 باشد. با توجه به دو کره 2 مجزا در 3 فضای، لزوماً هیچ 2 کره سومی وجود ندارد که آنها را در 3 فضای از یکدیگر جدا کند. و غیره و غیره. "کره شاخدار" معروف اسکندر [A ] به زودی پس از آن ظاهر شد.

Geometric topology may roughly be described as the branch of the topology of manifolds which deals with questions of the existence of homeomorphisms. Only in fairly recent years has this sort of topology achieved a sufficiently high development to be given a name, but its beginnings are easy to identify. The first classic result was the SchOnflies theorem (1910), which asserts that every 1-sphere in the plane is the boundary of a 2-cell. In the next few decades, the most notable affirmative results were the "Schonflies theorem" for polyhedral 2-spheres in space, proved by J. W. Alexander [Ad, and the triangulation theorem for 2-manifolds, proved by T. Rad6 [Rd. But the most striking results of the 1920s were negative. In 1921 Louis Antoine [A ] published an extraordinary paper in which he 4 showed that a variety of plausible conjectures in the topology of 3-space were false. Thus, a (topological) Cantor set in 3-space need not have a simply connected complement; therefore a Cantor set can be imbedded in 3-space in at least two essentially different ways; a topological 2-sphere in 3-space need not be the boundary of a 3-cell; given two disjoint 2-spheres in 3-space, there is not necessarily any third 2-sphere which separates them from one another in 3-space; and so on and on. The well-known "horned sphere" of Alexander [A ] appeared soon thereafter.