Geometric invariant theory : over the real and complex numbers

نظریه ثابت هندسی (GIT) در این متن در چارچوب هندسه جبری بر روی اعداد حقیقی و مختلط توسعه یافته است. این مبحث پیچیده با تئوری پیشینه کافی ارائه شده است تا متن را برای دانشجویان فارغ التحصیل پیشرفته در ریاضیات و فیزیک با پیشینه های متنوع در جبری و هندسه دیفرانسیل در دسترس قرار دهد. در سرتاسر کتاب بر مثال هایی تاکید شده است. تمرین ها به درک خواننده از مطالب می افزایند. بیشتر آنها با نکات تقویت می شوند.

نمایش به دو بخش تقسیم می شود. بخش اول، «تئوری پیشینه»، به عنوان مرجع برای بقیه کتاب سازماندهی شده است. این شامل دو فصل در حال توسعه مواد در هندسه جبری پیچیده و واقعی و گروه های جبری است که یافتن آنها در ادبیات دشوار است. فصل 1 بر رابطه بین توپولوژی Zariski و توپولوژی متعارف Hausdorff یک تنوع جبری بر روی اعداد مختلط تاکید می کند. فصل 2 تعامل بین گروه های دروغ و گروه های جبری را توسعه می دهد. بخش 2، "نظریه هندسی ثابت" شامل سه فصل (3-5) است. فصل 3 بر قضیه هیلبرت- مامفورد متمرکز است و شامل توسعه کامل قضیه کمپف-نس و نظریه ویندبرگ است. فصل 4 ساختار مداری یک گروه جبری تقلیلی را بر روی یک تنوع تصویری با تأکید بر نظریه کوستانت مطالعه می کند. فصل آخر به بررسی بسط نظریه ثابت کلاسیک به محصولات گروه های کلاسیک می پردازد که بر کاربردهای اخیر این نظریه در فیزیک تأکید دارد.

Geometric Invariant Theory (GIT) is developed in this text within the context of algebraic geometry over the real and complex numbers. This sophisticated topic is elegantly presented with enough background theory included to make the text accessible to advanced graduate students in mathematics and physics with diverse backgrounds in algebraic and differential geometry. Throughout the book, examples are emphasized. Exercises add to the reader’s understanding of the material; most are enhanced with hints.

The exposition is divided into two parts. The first part, ‘Background Theory’, is organized as a reference for the rest of the book. It contains two chapters developing material in complex and real algebraic geometry and algebraic groups that are difficult to find in the literature. Chapter 1 emphasizes the relationship between the Zariski topology and the canonical Hausdorff topology of an algebraic variety over the complex numbers. Chapter 2 develops the interaction between Lie groups and algebraic groups. Part 2, ‘Geometric Invariant Theory’ consists of three chapters (3–5). Chapter 3 centers on the Hilbert–Mumford theorem and contains a complete development of the Kempf–Ness theorem and Vindberg’s theory. Chapter 4 studies the orbit structure of a reductive algebraic group on a projective variety emphasizing Kostant’s theory. The final chapter studies the extension of classical invariant theory to products of classical groups emphasizing recent applications of the theory to physics.