General Parabolic Mixed Order Systems in Lp and Applications

در این متن، یک نظریه برای معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی خطی کلی ایجاد شده است که معادلات با ساختار نماد ناهمگن و همچنین سیستم های مرتبه مختلط را پوشش می دهد. کاربردهای معمولی شامل انواع مختلفی از سیستم استوکس و مسائل ارزش مرزی آزاد است. ما به خوبی در فضاهای Lp-Lq-Sobolev در زمان و مکان برای مسائل خطی (یعنی حداکثر نظم) که گام کلیدی برای درمان مسائل غیرخطی است، نشان می‌دهیم. این نظریه مبتنی بر مفهوم چند ضلعی نیوتن است و می تواند معادلاتی را پوشش دهد که با روش های استاندارد مانند نظریه نیمه گروهی قابل دسترسی نیستند. نتایج در انواع مختلف فضاهای غیر صحیح Lp-Sobolev به عنوان فضاهای Besov، فضاهای پتانسیل Bessel و فضاهای Triebel-Lizorkin به دست می آیند. آخرین کلاس ذکر شده به صورت طبیعی به عنوان ردپای فضاهای Lp-Lq-Sobolev ظاهر می شود. ما همچنین مجموعه ای از برنامه ها را در کل فضا و نیم فضاها ارائه می دهیم. در میان دیگران، ما درستی خطی‌سازی‌های معادله صفحه ترموالاستیک تعمیم‌یافته، معادلات دو فازی ناویر-استوکس با سطح بوسینسک-اسکریون، و مسئله استفان دو فازی Lp-Lq را ثابت می‌کنیم. تصحیح گیبس–تامسون.​

In this text, a theory for general linear parabolic partial differential equations is established which covers equations with inhomogeneous symbol structure as well as mixed-order systems. Typical applications include several variants of the Stokes system and free boundary value problems. We show well-posedness in Lp-Lq-Sobolev spaces in time and space for the linear problems (i.e., maximal regularity) which is the key step for the treatment of nonlinear problems. The theory is based on the concept of the Newton polygon and can cover equations which are not accessible by standard methods as, e.g., semigroup theory. Results are obtained in different types of non-integer Lp-Sobolev spaces as Besov spaces, Bessel potential spaces, and Triebel–Lizorkin spaces. The last-mentioned class appears in a natural way as traces of Lp-Lq-Sobolev spaces. We also present a selection of applications in the whole space and on half-spaces. Among others, we prove well-posedness of the linearizations of the generalized thermoelastic plate equation, the two-phase Navier–Stokes equations with Boussinesq–Scriven surface, and the Lp-Lq two-phase Stefan problem with Gibbs–Thomson correction.​