Galois Representations in Arithmetic Algebraic Geometry

GALOIS REPRESENTATIONS IN ARITHMETIC ALGEBRAIC GEOMETRY......Page 1
London Mathematical Society Lecture Note Series......Page 2
Title Page......Page 4
Copyright Page......Page 5
Contents......Page 6
Preface......Page 8
List of participants......Page 9
Lecture programme......Page 10
R. Coleman and B. Mazur......Page 12
Table of Contents......Page 20
1.1 Rigid analytic spaces attached to complete local noetherian rings......Page 21
1.2 Irreducible components and component parts......Page 23
1.3 Fredholm varieties......Page 27
1.4 Weight space......Page 38
1.5 The eigencurve as the Fredholm closure of the classical modular locus. (Statement of the main theorems)......Page 40
2.1 Affinoid sub-domains in modular curves......Page 46
2.2 Eisenstein series......Page 50
2.3 Katz p-adic Modular Functions......Page 55
2.4 Convergent modular forms and Katz modular functions......Page 57
3.1 Hecke eigenvectors and generalized eigenvectors......Page 58
3.2 Action on M[sub(k)](Np[sup(m)], v; K)......Page 60
3.3 Action on Katz Modular Functions......Page 61
3.4 Action on M[sup(†)](N)......Page 62
3.6 Remarks about cusp forms and Eisenstein series......Page 64
4.1 Completely continuous operators and Fredholm determinants......Page 66
4.2 Factoring Characteristic Series......Page 69
4.3 Analytic variation of the Fredholm determinant......Page 71
4.4 The Spectral Curves......Page 77
Addendum......Page 78
5.1 Deforming representations and pseudo-representations......Page 79
5.2 Pseudo-representations attached to Katz modular functions......Page 91
6.1 The definition of the eigencurve......Page 94
6.2 The points of the eigencurve are overconvergent eigenforms......Page 96
6.3 The projections of the eigencurve to the spectral curves......Page 99
6.4 The Eisenstein curve......Page 101
7.1 Local pieces......Page 102
7.2 Gluing......Page 105
7.3 The relationships among the curves D[sub(α)]......Page 106
7.4 D is reduced......Page 112
7.5 Equality of D and C[sup(red)]......Page 115
7.6 Consequences of the relationship between D and C......Page 118
References......Page 121
B. Erez......Page 126
Introduction......Page 127
1 Refined Euler characteristics and analytic classes......Page 129
1.b Tame actions......Page 130
1.c Perfect complexes in etale cohomology and omega invariants......Page 131
1.d Nearly perfect complexes......Page 133
2.a Galois structure of de Rham cohomology......Page 134
2.b L-values and the cohomology of G[sub(m)] for surfaces......Page 139
3 The generalized Fröhlich Conjecture......Page 140
4.a Varieties over finite fields......Page 144
4.b Arithmetic schemes......Page 146
5 Normal bases for elliptic division orders......Page 147
6 The equivariant arithmetic genus......Page 148
7 Equivariant motives......Page 149
References......Page 152
1 Introduction......Page 158
2 Two basic examples: a survey......Page 167
3 Mixed motives and motivie Lie algebras......Page 174
4 Conjectures on the motivic Galois group......Page 179
5 Towards the Lie coalgebra L*[sub(≤1)](E)......Page 190
6 Reflections on elliptic motivic complexes......Page 196
7 The complexes B(E,n)[sup(•)] and B*(E,n)[sup(•)]......Page 201
8 The regulator integrals, Eisenstein–Kronecker series and a conjecture on L(Sym[sup(n)]E, n + 1)......Page 208
9 The complexes B(E;n)[sup(•)] and Motivic elliptic polylogarithms......Page 217
10 Elliptic Chow polylogarithms and generalized Eisenstein–Kronecker series......Page 226
References......Page 230
1 The algebraic group G̲......Page 234
2 The Gelfand pair (G, K)......Page 236
3 The Satake transform......Page 238
4. Kazhdan–Lusztig polynomials......Page 240
5 Examples......Page 242
6 L-functions......Page 243
7 The trivial representation......Page 245
8 Normalizing the Satake isomorphism......Page 246
References......Page 248
B. Mazur......Page 250
1 Rational points on varieties of general type......Page 251
2 An illustrative case......Page 252
3 Finer uniformity?......Page 254
4 The general \"correlation theorem\"......Page 255
5 Uniformity statements for the number of rational point on curves......Page 256
6 Counting K-rational isogenies......Page 258
7 The modular curves X(E;p)......Page 260
8 Digression: When are the different components of X(E;p) isomorphic over K?......Page 261
9 The isomorphism class of the curve X(E;p) over K......Page 264
10 Proof of Proposition 1......Page 265
Part II: Speculations about the topology of rational points: a further up-date......Page 266
1 The topological closure of the set of rational points in the real locus......Page 267
2 S-adic topological closure......Page 268
4 Comparing global to local......Page 269
5 Twisting varieties by π:......Page 270
6 \"C.-T., S. and Sw.-D.\" examples......Page 273
7 An explicit example......Page 274
References......Page 275
Introduction......Page 278
1 Shimura varieties......Page 282
2 Canonical models of Shimura varieties......Page 293
3 Integral canonical models......Page 304
4 Deformation theory of p-divisible groups with Tate classes......Page 321
5 Vasiu\'s strategy for proving the existence of integral canonical models......Page 328
6 Characterizing subvarieties of Hodge type; conjectures of Coleman and Oort......Page 344
References......Page 355
1 Selmer groups attached to p-adic representations......Page 362
3 Results over Q......Page 364
4 Results over Q[sub(∞)]......Page 366
5 Local cohomology groups......Page 367
6 The p-adic L-function......Page 369
7 Kato\'s Euler system......Page 370
8.1 The main theorem......Page 371
8.2 Verification of the hypotheses......Page 372
8.4 Bounding S(Q[sub(∞)], E[sub(p∞)])......Page 373
Appendix. Explicit description of the Coleman map......Page 375
References......Page 377
Peter Schneider......Page 380
References......Page 389
A. J. Scholl......Page 390
1.1 Review of modular forms and elliptic curves......Page 393
1.2 Kato–Siegel functions......Page 395
1.3 Units and Eisenstein series......Page 399
2.1 Some elements of K-theory......Page 402
2.2 Level structures......Page 405
2.3 Norm relations for Γ(ℓ)-structure......Page 406
2.4 Norm relations for Γ(ℓ[sup(n)])-structure......Page 411
2.5 Norm relations for products of Eisenstein series......Page 412
A.1 Eisenstein symbols......Page 413
A.2 Norm relations in higher K-groups......Page 415
3.1 Notations......Page 417
3.2 The dual exponential map for H[sup(1)] and an explicit reciprocity law......Page 418
3.3 Fontaine\'s theory......Page 423
3.4 Big local fields......Page 431
3.5 Proof of Theorem 3.2.3......Page 436
4.1 Notations......Page 440
4.2 Adelic modular forms......Page 441
4.3 Eisenstein series......Page 444
4.4 The Rankin–Selberg integral......Page 446
4.5 Local integrals......Page 448
4.6 Putting it all together......Page 455
5.1 Modular curves......Page 457
5.2 Elliptic curves......Page 462
References......Page 469
Jean-Pierre Serre......Page 472
1.3 Cohomologie......Page 473
1.6 Détermination de µ[sub(G)] à partir des H[sup(i)][sub(c)](U, Q[sub(p)])......Page 474
1.8 Une application......Page 475
2.2 Caractères de Brauer des groupes finis......Page 476
2.3 Le cas où k = F[sub(p)]......Page 477
2.4 Le cas où k = F[sub(p)] (suite)......Page 478
3.1 Distributions sur un espace compact totalement discontinu......Page 480
3.3 Distribution associée à une fonction additive de modules......Page 481
3.4 Démonstration du théorème A du n1.4......Page 482
3.5 Interprétation de μ[sub(G)] en termes de modules projectifs......Page 483
3.6 La Z[sub(p)]-mesure de ClG définie par μ[sub(G)]......Page 484
4.1 Cohomologie continue : le cas des Z[sub(p)]-modules de type fini......Page 485
4.2 Caractéristique d\'Euler–Poincaré des Z[sub(p)]-modules de type fini......Page 486
4.4 Détermination de μ[sub(G)] à partir des H[sup(i)][sub(c)](U, Q[sub(p)])......Page 488
4.5 Interprétation de μ[sub(G)] en termes de représentations admissibles......Page 490
5.1 Restriction à un sous-groupe ouvert......Page 491
5.3 Groupes à dualité......Page 492
6.2 Démonstration du théorème (6.1.3)......Page 494
6.3 Le cas global : énoncé......Page 495
7 Groupes de Lie p-adiques......Page 496
7.2 Détermination du caractère h[sub(U)]......Page 497
7.3 Détermination de μ[sub(G)]......Page 498
7.4 Un cas où μ[sub(G)] = 0......Page 500
8.1 Les données......Page 501
8.2 Démonstration du théorème 8.1.4......Page 502
Bibliographie......Page 503