Galois Connections and Applications

ارتباطات گالوا گذرگاه حفظ نظم یا ساختار را بین دو دنیای تخیل ما فراهم می کند - و بنابراین در تفکر انسان هرجا که استدلال منطقی یا ریاضی در مورد ساختارهای سلسله مراتبی خاصی دخیل باشد ذاتی است. از لحاظ نظری، یک اتصال Galois به سادگی توسط دو نقشه معکوس ترتیب مخالف (یا حفظ نظم) ارائه می شود که ترکیب آنها دو عملیات بسته شدن را به همراه دارد (یا یک عملیات بسته شدن و یک عملیات هسته در مورد حفظ نظم). بنابراین، «سلسله مراتب» در دو جهان متضاد، هنگام عبور به جهان دیگر، معکوس یا منتقل می‌شوند، و با تکرار، رفت و آمد به یک فرآیند ثابت تبدیل می‌شود. مزیت چنین \"موقعیت الحاقی\" این است که اطلاعات مربوط به اشیاء و روابط در یکی از دو جهان ممکن است برای به دست آوردن اطلاعات جدید در مورد جهان دیگر استفاده شود و بالعکس. به عنوان مثال، در نظریه کلاسیک گالوا، از ویژگی‌های گروه‌های جایگشت برای مطالعه گسترش میدان استفاده می‌شود. یا در هندسه جبری، دانش کافی از حلقه‌های چند جمله‌ای بینشی در مورد ساختار منحنی‌ها، سطوح و سایر انواع جبری می‌دهد و برعکس. علاوه بر این، محدودیت به اشیاء \"Galois-closed\" یا \"Galois-open\" (نقاط ثابت نقشه های ترکیبی) به یک \"دوگانگی بین دو زیرجهان حداکثر\" منجر می شود.

Galois connections provide the order- or structure-preserving passage between two worlds of our imagination - and thus are inherent in hu­ man thinking wherever logical or mathematical reasoning about cer­ tain hierarchical structures is involved. Order-theoretically, a Galois connection is given simply by two opposite order-inverting (or order­ preserving) maps whose composition yields two closure operations (or one closure and one kernel operation in the order-preserving case). Thus, the "hierarchies" in the two opposite worlds are reversed or transported when passing to the other world, and going forth and back becomes a stationary process when iterated. The advantage of such an "adjoint situation" is that information about objects and relationships in one of the two worlds may be used to gain new information about the other world, and vice versa. In classical Galois theory, for instance, properties of permutation groups are used to study field extensions. Or, in algebraic geometry, a good knowledge of polynomial rings gives insight into the structure of curves, surfaces and other algebraic vari­ eties, and conversely. Moreover, restriction to the "Galois-closed" or "Galois-open" objects (the fixed points of the composite maps) leads to a precise "duality between two maximal subworlds".