Gabor Analysis and Algorithms: Theory and Applications

در مقاله خود نظریه ارتباطات [Gab46]، D. Gabor استفاده از خانواده ای از توابع به دست آمده از یک گاوسی را با تغییر زمان و فرکانس پیشنهاد کرد. هر یک از اینها به خوبی در زمان و فرکانس متمرکز است. آنها با هم مجموعه کاملی از بلوک‌های ساختمانی را تشکیل می‌دهند که توابع پیچیده‌تر وابسته به زمان را می‌توان در آنها تجزیه کرد. کاربرد ارتباطی که گابور پیشنهاد کرد، ارسال ضرایب تجزیه به این خانواده سیگنال بود، نه خود سیگنال. این یک پیشنهاد باقی ماند - تا آنجا که من می دانم هیچ تلاش جدی برای اجرای آن برای اهداف ارتباطی در عمل وجود نداشت، و در واقع، در چگالی زمان-فرکانس بحرانی پیشنهاد شده در ابتدا، یک مانع ریاضی وجود دارد. همانطور که بعداً فهمیدیم، خانواده گاوسی‌های جابجا شده و مدوله‌شده، فضای توابع ادغام‌پذیر مربعی [BBGK71، Per71] را در بر می‌گیرد (حتی یک تابع برای صرفه‌جویی دارد [BGZ75] .. . . ، منجر به ناپایداری های عددی می شود. قضیه Balian-Low (که خواننده می‌تواند در برخی از مشارکت‌های این کتاب اطلاعات بیشتری در مورد آن بیابد) و الحاقات آن نشان می‌دهد که اگر گاوسی با هر تابع دیگری جایگزین شود که «معقولاً» صاف و محلی باشد، اشتباه مشابهی رخ می‌دهد. . بنابراین به طور طبیعی به در نظر گرفتن چگالی زمان-فرکانس بالاتر منجر می شود.

In his paper Theory of Communication [Gab46], D. Gabor proposed the use of a family of functions obtained from one Gaussian by time-and frequency­ shifts. Each of these is well concentrated in time and frequency; together they are meant to constitute a complete collection of building blocks into which more complicated time-depending functions can be decomposed. The application to communication proposed by Gabor was to send the coeffi­ cients of the decomposition into this family of a signal, rather than the signal itself. This remained a proposal-as far as I know there were no seri­ ous attempts to implement it for communication purposes in practice, and in fact, at the critical time-frequency density proposed originally, there is a mathematical obstruction; as was understood later, the family of shifted and modulated Gaussians spans the space of square integrable functions [BBGK71, Per71] (it even has one function to spare [BGZ75] . . . ) but it does not constitute what we now call a frame, leading to numerical insta­ bilities. The Balian-Low theorem (about which the reader can find more in some of the contributions in this book) and its extensions showed that a similar mishap occurs if the Gaussian is replaced by any other function that is "reasonably" smooth and localized. One is thus led naturally to considering a higher time-frequency density.