G-Convergence and Homogenization of Nonlinear Partial Differential Operators

کاربردهای مختلف نظریه همگن سازی معادلات دیفرانسیل جزئی منجر به توسعه بیشتر این شاخه از ریاضیات شد و علاقه فزاینده ریاضیدانان و متخصصان در زمینه های دیگر را به خود جلب کرد. به طور کلی، این نظریه با موارد زیر سر و کار دارد: بگذارید Ak دنباله ای از عملگرهای دیفرانسیل باشد، خطی یا غیر خطی. ما می خواهیم رفتار مجانبی راه حل های uk را برای معادله Auk = f بررسی کنیم، به شرط اینکه ضرایب Ak دارای نوسانات سریع باشد. این مورد است، e. g. زمانی که ضرایب به شکل a(e/x) باشند، تابع a(y) تناوبی و ek ~ 0 ask~= است. البته، نوسانات، مانند همگن تقریباً دوره‌ای یا تصادفی، مورد توجه بسیاری از انواع دیگر نیز هستند. به نظر می رسد ایده خوبی است که یک عملگر دیفرانسیل A را پیدا کنیم که uk ~ u، جایی که u حل معادله حدی Au = f است چنین عملگر حدی معمولاً عملگر همگن شده برای دنباله Ak نامیده می شود. گاهی اوقات، از عبارت \"میانگین\" به جای \"همگن\" استفاده می شود. بیایید با دقت بیشتری نگاه کنیم که چه نوع همگرایی را می توان برای انگلستان انتظار داشت. معمولاً برای راه حل ها محدودیت های پیشینی داریم. با این حال، به دلیل نوسانات سریع ضرایب، چنین حدی ممکن است با توجه به k در هنجار انرژی مربوطه یکنواخت باشد. بنابراین، ممکن است فقط در توپولوژی ضعیف فضای انرژی همگرایی راه حل ها داشته باشیم.

Various applications of the homogenization theory of partial differential equations resulted in the further development of this branch of mathematics, attracting an increasing interest of both mathematicians and experts in other fields. In general, the theory deals with the following: Let Ak be a sequence of differential operators, linear or nonlinepr. We want to examine the asymptotic behaviour of solutions uk to the equation Auk = f, as k ~ =, provided coefficients of Ak contain rapid oscillations. This is the case, e. g. when the coefficients are of the form a(e/x), where the function a(y) is periodic and ek ~ 0 ask~=. Of course, of oscillation, like almost periodic or random homogeneous, are of many other kinds interest as well. It seems a good idea to find a differential operator A such that uk ~ u, where u is a solution of the limit equation Au = f Such a limit operator is usually called the homogenized operator for the sequence Ak . Sometimes, the term "averaged" is used instead of "homogenized". Let us look more closely what kind of convergence one can expect for uk. Usually, we have some a priori bound for the solutions. However, due to the rapid oscillations of the coefficients, such a bound may be uniform with respect to k in the corresponding energy norm only. Therefore, we may have convergence of solutions only in the weak topology of the energy space.