Fundamentals of Hopf Algebras

هدف این متن ارائه مقدمه ای مستقل به دانشجویان فارغ التحصیل از موضوعاتی است که در خط مقدم جبر مدرن قرار دارند، یعنی جبرهای کوالجبر، جبرهای دوگانه و جبرهای هاپف. فصل آخر (فصل 4) چندین کاربرد جبر هاپف را مورد بحث قرار می دهد که برخی از آنها در انتشارات نویسنده در سال 2011، مقدمه ای بر جبر هاپف توسعه یافته اند. این کتاب ممکن است به عنوان متن اصلی یا به عنوان متن تکمیلی برای دوره تحصیلات تکمیلی جبر استفاده شود. پیش نیازهای این متن شامل مطالب استاندارد در مورد گروه‌ها، حلقه‌ها، ماژول‌ها، فیلدهای الحاقی جبری، فیلدهای محدود و توالی‌های بازگشتی خطی است.

این کتاب شامل چهار فصل است. فصل 1 جبرها و جبرهای ذغالی را در یک میدان K معرفی می کند. فصل 2 به دو جبرها می پردازد. فصل 3 جبر هاپف را مورد بحث قرار می دهد و فصل 4 شامل سه کاربرد جبر هاپف است. هر فصل با یک مرور کلی شروع می شود و با مجموعه ای از تمرین ها که برای مرور و تقویت مطالب طراحی شده اند، پایان می یابد. تمرین ها از کاربردهای ساده تئوری تا مسائلی که برای به چالش کشیدن خواننده ابداع شده اند را شامل می شود. سوالات برای مطالعه بیشتر پس از تمرینات انتخاب شده ارائه می شود. اکثر شواهد به تفصیل ارائه شده‌اند، هرچند چند دلیل حذف شده‌اند، زیرا آنها از حوصله این کتاب خارج هستند.

This text aims to provide graduate students with a self-contained introduction to topics that are at the forefront of modern algebra, namely, coalgebras, bialgebras and Hopf algebras. The last chapter (Chapter 4) discusses several applications of Hopf algebras, some of which are further developed in the author’s 2011 publication, An Introduction to Hopf Algebras. The book may be used as the main text or as a supplementary text for a graduate algebra course.  Prerequisites for this text include standard material on groups, rings, modules, algebraic extension fields, finite fields and linearly recursive sequences.

The book consists of four chapters. Chapter 1 introduces algebras and coalgebras over a field K; Chapter 2 treats bialgebras; Chapter 3 discusses Hopf algebras and Chapter 4 consists of three applications of Hopf algebras. Each chapter begins with a short overview and ends with a collection of exercises which are designed to review and reinforce the material. Exercises range from straightforward applications of the theory to problems that are devised to challenge the reader. Questions for further study are provided after selected exercises. Most proofs are given in detail, though a few proofs are omitted since they are beyond the scope of this book.