Fundamentals of Differential Geometry

هدف کتاب حاضر ارائه یک توضیح نسبتاً جامع از مبانی منیفولدهای دیفرانسیل و هندسه دیفرانسیل است. اندازه کتاب بر مکان توقف تأثیر داشت و برای جلد دوم مطالب کافی وجود داشت (این یک تهدید نیست). در ابتدایی‌ترین سطح، کتاب مقدمه‌ای بر مفاهیم پایه‌ای که در توپولوژی دیفرانسیل، هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل استفاده می‌شوند، ارائه می‌کند. در توپولوژی دیفرانسیل، به عنوان مثال، کلاس های هموتوپی نقشه ها و امکان یافتن نقشه های متفاوت مناسب در آنها (غوطه وری، تعبیه، ایزومورفیسم و ​​غیره) مورد مطالعه قرار می گیرد. همچنین می توان از ساختارهای متمایز بر روی منیفولدهای توپولوژیکی برای تعیین ساختار توپولوژیکی منیفولد استفاده کرد (به عنوان مثال، it la Smale [Sm 67]). در هندسه دیفرانسیل، یک ساختار اضافی بر روی منیفولد قابل تمایز قرار می گیرد (یک میدان برداری، یک اسپری، یک 2 شکل، یک متریک ریمانی، ad lib.) و خواص مرتبط با این اشیاء را مطالعه می کند. به طور رسمی، می توان گفت که ویژگی های ثابت را تحت گروه خودمورفیسم های قابل تمایز مطالعه می کند که ساختار اضافی را حفظ می کند. در معادلات دیفرانسیل، میدان های برداری و آنها را در منحنی های تگرال، نقاط منفرد، منیفولدهای پایدار و ناپایدار و غیره مورد مطالعه قرار می دهد. تعداد معینی از مفاهیم برای هر سه مورد ضروری است و به قدری اساسی و ابتدایی هستند که ارزش دارد آنها را با هم جمع آوری کنیم. که بدون نیاز به شروع از همان ابتدا می توان نمایشگاه های پیشرفته تری ارائه داد.

The present book aims to give a fairly comprehensive account of the fundamentals of differential manifolds and differential geometry. The size of the book influenced where to stop, and there would be enough material for a second volume (this is not a threat). At the most basic level, the book gives an introduction to the basic concepts which are used in differential topology, differential geometry, and differential equations. In differential topology, one studies for instance homotopy classes of maps and the possibility of finding suitable differen­ tiable maps in them (immersions, embeddings, isomorphisms, etc. ). One may also use differentiable structures on topological manifolds to deter­ mine the topological structure of the manifold (for example, it la Smale [Sm 67]). In differential geometry, one puts an additional structure on the differentiable manifold (a vector field, a spray, a 2-form, a Riemannian metric, ad lib. ) and studies properties connected especially with these objects. Formally, one may say that one studies properties invariant under the group of differentiable automorphisms which preserve the additional structure. In differential equations, one studies vector fields and their in­ tegral curves, singular points, stable and unstable manifolds, etc. A certain number of concepts are essential for all three, and are so basic and elementary that it is worthwhile to collect them together so that more advanced expositions can be given without having to start from the very beginnings.