Fundamental Concepts of Higher Algebra

Cover......Page 1
Title Page......Page 4
Copyright......Page 5
Preface......Page 6
Table of Contents......Page 8
1. Sets and Mappings......Page 12
2. Products and Operations......Page 14
3. Relations......Page 15
4. Properties of the Integers......Page 16
6. Elementary Properties of Groups......Page 18
7. Subgroups......Page 20
8. Cyclic and Finite Groups......Page 21
9. Cosets and Normal Subgroups......Page 22
10. Homomorphism......Page 24
11. Quotient Groups......Page 25
12. The Fundamental Theorem......Page 27
13. Direct Products......Page 28
14. Finite Cyclic Groups......Page 30
15. Finite Abelian Groups......Page 31
16. Permutation Groups......Page 33
17. Computation of Transforms......Page 35
18. The Regular Representation of a Group......Page 36
19. Composition Series......Page 37
20. References......Page 39
1. Rings......Page 40
2. Ring Homomorphism......Page 41
3. The Characteristic of a Ring......Page 42
4. Ideals......Page 44
5. Difference Rings......Page 46
7. Construction of 2C[x]......Page 48
8. The Division Algorithm......Page 49
9. Polynomials in it Independent [ndeterminates......Page 51
10. Integral Domains and Fields......Page 52
11. Divisibility in a Commutative Ring......Page 54
12. Prime and Maximal Ideals......Page 55
13. The Ring of Integers......Page 56
14. Factorization Theory in fi[x]......Page 59
15. Ideal Theory in ;;[x]......Page 61
16. References......Page 62
1. Vector Spaces......Page 63
2. Sums of Subspaces......Page 64
3. Vector Spaces over a Field......Page 66
4. Linear Mappings......Page 67
5. The Space of n-tuples......Page 68
6. Matrices......Page 69
7. The Vector Space 9Jt,,,, n......Page 72
8. The Matrix of a Linear Mapping......Page 73
9. The Sign of a Permutation......Page 75
10. Determinants......Page 77
12. The Effect of a Change of Basis......Page 79
13. Elementary Transformations over a......Page 81
14 Equivalence in - and Determinantal Rank......Page 83
15. Linear Systems......Page 86
16. Equivalence in a[x]......Page 89
17, The Ring 9)1 over fi[x]......Page 93
19. Characteristic and Minimum Functions......Page 94
20. The Companion Matrix of a Polynomial......Page 96
22. The Jordan Canonical Form......Page 99
23. The Characteristic Roots of a Polynomial......Page 105
24. References......Page 106
1. Simple Extensions......Page 107
3. Subfields......Page 108
4. Splitting Fields......Page 109
5. Composites......Page 111
6. Binomial and Trinomial Equations......Page 112
7. Separable Polynomials and Fields......Page 113
8. The Artin Lemmas......Page 116
9. Normal Fields......Page 117
10. Characterizations of Normality......Page 119
11. The Galois Group of an Equation......Page 122
12. The Fundamental Theorems of the Calois Theory......Page 123
13. Simple Extensions......Page 125
14. The Characteristic Function of a Field......Page 129
15. The Normal Basis Theorem......Page 130
16. The Trace Theorem......Page 132
17. References......Page 133
1. Number of Elements......Page 134
3. The Cyclic Group `k......Page 135
4. Primitive Roots Modulo m......Page 136
5. The Galois Group of a Finite Field......Page 138
6. Dedekind\'s Formula......Page 139
7. Polynomials Belonging to an Exponent......Page 141
8. Polynomials Belonging to a Prime......Page 143
9. A Construction of Irreducible Polynomials......Page 144
10. The Exceptional Case......Page 146
11. Irreducible Polynomials of Even Degree......Page 148
12. Applications......Page 149
13. Polynomials of Degree p over g-Q, q = p^......Page 151
14. Dickson\'s Theorem......Page 152
15. Generation of Irreducible Polynomials......Page 153
16. The Cubing Transformation......Page 154
17. Determination of Primitive Irreducible Polynomials......Page 156
18. Miscellaneous Results......Page 160
19. Historical Notes......Page 166
I. TABLE OF LEAST PRIMITIVE ROOTS......Page 168
II. EXTRACT FROM JACOBI\'S CANON......Page 169
III. BussEY\'s TABLES......Page 170
IV. IRREDUCIBLE POLYNOMIALS OVER U2......Page 172
INDEX......Page 174
Back Cover......Page 179