Functionentheorie: eine Einfuehrung

Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit......Page 11
1.2 Potenzreihen......Page 12
1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen......Page 15
1.4 Übungsaufgaben......Page 18
1.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 19
2.1 Kurvenintegrale......Page 20
2.2 Der Cauchysche Integralsatz für ein Rechteck......Page 21
2.3 Cauchyscher Integralsatz für Bilder von Rechtecken......Page 24
2.4 Übungsaufgaben......Page 27
2.5 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 28
3.1 Die Cauchyformel......Page 30
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz......Page 31
3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip......Page 34
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen......Page 36
3.5 Identitätssatz und Gebietstreue......Page 39
3.6 Übungsaufgaben......Page 42
3.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 43
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitäten......Page 45
4.2 Meromorphe Funktionen......Page 46
4.3 Laurentreihen......Page 47
4.4 Laurentreihenentwicklung......Page 50
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitäten......Page 52
4.6 Übungsaufgaben......Page 53
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 55
5.1 Analytische Fortsetzung längs Kreisketten......Page 56
5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel......Page 58
5.3 Analytische Fortsetzung längs Wegen......Page 60
5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale......Page 62
5.5 Homotopie von Wegen......Page 64
5.6 Der Monodromiesatz......Page 69
5.7 Übungsaufgaben......Page 72
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 73
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung des Cauchyschen Integralsatzes......Page 74
6.2 Die Umlaufszahl......Page 75
6.3 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes......Page 79
6.4 Cauchyformel und Residuensatz......Page 82
6.5 Übungsaufgaben......Page 84
6.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 86
7.1 Vorbemerkungen......Page 87
7.2 Integrale über die ganze reelle Achse......Page 88
7.3 Hauptwerte......Page 90
7.4 Integrale über die positive reelle Halbachse......Page 93
7.5 Integrale über ein Intervall......Page 94
7.6 Das Null- und Polstellen zählende Integral......Page 95
7.7 Übungsaufgaben......Page 98
7.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 100
8.1 Kompakte Konvergenz......Page 101
8.2 Blätterzahlen von Grenzfunktionen......Page 102
8.3 Lokal beschränkte Folgen......Page 104
8.4 Der Satz von Montel......Page 106
8.5 Übungsaufgaben......Page 107
8.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 108
9.1 Der Satz von Mittag-Leffler......Page 109
9.2 Die Partialbruchzerlegung von 1/sin[sup(2)]z......Page 110
9.3 Unendliche Produkte......Page 112
9.4 Der Weierstraßsche Produktsatz......Page 114
9.5 Übungsaufgaben......Page 117
9.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 118
10.1 Der Satz......Page 120
10.2 Erster Beweisschritt......Page 122
10.3 Zweiter Beweisschritt......Page 124
10.4 Dritter Beweisschritt......Page 126
10.5 Übungsaufgaben......Page 127
10.6 Hinweise zu den Übungsaufgaben......Page 128
Literaturverzeichnis......Page 129
E......Page 130
M......Page 131
S......Page 132
Z......Page 133