Functional Spaces for the Theory of Elliptic Partial Differential Equations

تئوری مسائل مرزی بیضوی در تجزیه و تحلیل اساسی است و نقش فضاهای توابع ضعیف (که فضاهای سوبولف نیز نامیده می شوند) در این نظریه به عنوان ابزاری برای تجزیه و تحلیل منظم بودن راه حل ها ضروری است.

این کتاب از یک سو یک نظریه کامل از فضاهای سوبولف را ارائه می دهد که برای معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی بیضوی اهمیت اساسی دارند و از سوی دیگر توضیح می دهد که چگونه روش های انتزاعی تحلیل محدب را می توان با یکدیگر ترکیب کرد. این نظریه برای ایجاد نتایج وجودی برای حل مسائل مرزی غیرخطی بیضوی. این کتاب همچنین انواع دیگری از فضاهای کاربردی را در نظر می گیرد که برای درمان مشکلات متغیر مانند مشکل سطح حداقل مفید هستند.

هدف اصلی کتاب ارائه ابزاری برای دانشجویان فارغ التحصیل و کارشناسی ارشد علاقه مند به دیفرانسیل جزئی است. معادلات و همچنین مرجع مفیدی برای محققان فعال در این زمینه است. پیش نیازها شامل دانش تحلیل کلاسیک، حساب دیفرانسیل، فضاهای باناخ و هیلبرت، ادغام و فضاهای عملکردی استاندارد مربوطه، و همچنین تبدیل فوریه در فضای شوارتز است.

تقریباً تمام نتایج اعلام شده، شواهد کامل و مفصلی وجود دارد و در برخی موارد، بیش از یک اثبات ارائه می‌شود تا ویژگی‌های مختلف نتیجه را برجسته کند. هر فصل با مجموعه‌ای از تمرین‌ها با سطوح مختلف دشواری، با نکاتی در مورد راه‌حل‌هایی که برای بسیاری از آنها ارائه شده، به پایان می‌رسد.

The theory of elliptic boundary problems is fundamental in analysis and the role of spaces of weakly differentiable functions (also called Sobolev spaces) is essential in this theory as a tool for analysing the regularity of the solutions.

This book offers on the one hand a complete theory of Sobolev spaces, which are of fundamental importance for elliptic linear and non-linear differential equations, and explains on the other hand how the abstract methods of convex analysis can be combined with this theory to produce existence results for the solutions of non-linear elliptic boundary problems. The book also considers other kinds of functional spaces which are useful for treating variational problems such as the minimal surface problem.

The main purpose of the book is to provide a tool for graduate and postgraduate students interested in partial differential equations, as well as a useful reference for researchers active in the field. Prerequisites include a knowledge of classical analysis, differential calculus, Banach and Hilbert spaces, integration and the related standard functional spaces, as well as the Fourier transformation on the Schwartz space.

There are complete and detailed proofs of almost all the results announced and, in some cases, more than one proof is provided in order to highlight different features of the result. Each chapter concludes with a range of exercises of varying levels of difficulty, with hints to solutions provided for many of them.