Functional Differential Equations: Application of i-smooth calculus

با شروع کارهای N.N.Krasovskii [81, 82, 83] که ماهیت عملکردی سیستم‌های دارای تاخیر را روشن کرد، رویکرد تابعی پایه‌ای برای یک نظریه کامل از معادلات دیفرانسیل با تاخیر فراهم می‌کند. بر اساس رویکرد عملکردی، جنبه‌های مختلف نظریه سیستم تاخیر زمانی با تقریباً همان کامل بودن زمینه مربوط به ODE (معادلات دیفرانسیل معمولی) نظریه توسعه یافته است. اصطلاح معادلات دیفرانسیل تابعی (FDE) به عنوان مترادف برای سیستم های دارای تاخیر 1 استفاده می شود. ارائه سیستماتیک این نتایج و مراجع بیشتر را می توان در تعدادی از کتاب های عالی یافت [2، 15، 22، 32، 34، 38، 41، 45، 50، 52، 77، 78، 81، 93، 102، 128]. در این مونوگراف حقایق اساسی حساب i-smooth ~ یک حساب دیفرانسیل جدید از توابع غیرخطی، بر اساس مفهوم مشتق ثابت، و برخی از کاربردهای آن در نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل تابعی را ارائه می‌کنیم. استفاده از حساب جدید وجه تمایز اصلی این کتاب از سایر کتاب های اختصاص داده شده به نظریه FDE است. دو ویژگی متمایز دیگر حجم عبارتند از: - مفهوم اصلی که ما استفاده می کنیم، جداسازی اجزای ابعاد محدود و ابعاد نامحدود در ساختارهای FDE و تابعی است. - ما از نمایش شرطی معادلات دیفرانسیل تابعی استفاده می کنیم که برای استفاده از روش ها و ساختارهای حساب هموار در نظریه FDE مناسب است.

Beginning with the works of N.N.Krasovskii [81, 82, 83], which clari­ fied the functional nature of systems with delays, the functional approach provides a foundation for a complete theory of differential equations with delays. Based on the functional approach, different aspects of time-delay system theory have been developed with almost the same completeness as the corresponding field of ODE (ordinary differential equations) the­ ory. The term functional differential equations (FDE) is used as a syn­ onym for systems with delays 1. The systematic presentation of these re­ sults and further references can be found in a number of excellent books [2, 15, 22, 32, 34, 38, 41, 45, 50, 52, 77, 78, 81, 93, 102, 128]. In this monograph we present basic facts of i-smooth calculus ~ a new differential calculus of nonlinear functionals, based on the notion of the invariant derivative, and some of its applications to the qualitative theory of functional differential equations. Utilization of the new calculus is the main distinction of this book from other books devoted to FDE theory. Two other distinguishing features of the volume are the following: - the central concept that we use is the separation of finite dimensional and infinite dimensional components in the structures of FDE and functionals; - we use the conditional representation of functional differential equa­ tions, which is convenient for application of methods and constructions of i~smooth calculus to FDE theory.