Functional Analysis I: Linear Functional Analysis

تا زمان معینی توجه ریاضیدانان بر مطالعه اشیاء منفرد متمرکز بود، به عنوان مثال، توابع ابتدایی خاص یا منحنی هایی که با معادلات ویژه تعریف می شوند. با ایجاد روش سری فوریه، که به ریاضیدانان اجازه می داد با توابع «دلخواه» کار کنند، رویکرد فردی با رویکرد «کلاس» جایگزین شد، که در آن یک تابع خاص تنها به عنوان عنصری از «فضای تابع» در نظر گرفته می شود. . توسعه کم و بیش همزمان هندسه و جبر به مفهوم کلی فضای خطی منجر شد، در حالی که در تجزیه و تحلیل اشکال اساسی همگرایی برای مجموعه‌ای از توابع شناسایی شد: یکنواخت، مربع میانگین، نقطه‌ای و غیره. علاوه بر این، معلوم می شود که یک نوع خاصی از همگرایی با هر فضای تابع خطی مرتبط است، به عنوان مثال، همگرایی یکنواخت در مورد فضای توابع پیوسته در یک بازه بسته. فقط اخیراً بود که ایده کلی فضای توپولوژیکی خطی (L TS)l در این رابطه شکل گرفت. در اینجا ساختار جبری با ساختار توپولوژیکی سازگار است به این معنا که عملیات اصلی (جمع و ضرب در یک اسکالر) پیوسته هستند.

Up to a certain time the attention of mathematicians was concentrated on the study of individual objects, for example, specific elementary functions or curves defined by special equations. With the creation of the method of Fourier series, which allowed mathematicians to work with 'arbitrary' functions, the individual approach was replaced by the 'class' approach, in which a particular function is considered only as an element of some 'function space'. More or less simultane­ ously the development of geometry and algebra led to the general concept of a linear space, while in analysis the basic forms of convergence for series of functions were identified: uniform, mean square, pointwise and so on. It turns out, moreover, that a specific type of convergence is associated with each linear function space, for example, uniform convergence in the case of the space of continuous functions on a closed interval. It was only comparatively recently that in this connection the general idea of a linear topological space (L TS)l was formed; here the algebraic structure is compatible with the topological structure in the sense that the basic operations (addition and multiplication by a scalar) are continuous.