Function Spaces and Potential Theory

فضاهای تابعی، به ویژه فضاهایی که به فضاهای سوبولف معروف شده اند، و گسترش طبیعی آنها، اکنون یک مفهوم اصلی در تحلیل هستند. به طور خاص، آنها نقش تعیین کننده ای در نظریه مدرن معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) دارند. نظریه پتانسیل که از نظریه پتانسیل الکترواستاتیک یا گرانشی، معادله لاپلاس، مسئله دیریکله و غیره نشأت می‌گیرد، نقش اساسی در توسعه تحلیل عملکردی و نظریه فضای هیلبرت داشت. بعدها، نظریه پتانسیل به شدت تحت تأثیر تحلیل عملکردی قرار گرفت. اخیراً، ایده‌های نظریه پتانسیل، نظریه فضاهای تابع کلی‌تری را که به طور طبیعی در مطالعه معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی ظاهر می‌شوند، غنی کرده‌اند. انگیزه این کتاب توسعه اخیر است. ارتباط بین نظریه پتانسیل و نظریه فضاهای هیلبرت را می توان به C. F. Gauss [181] ردیابی کرد که (با دقت مدرنی که تقریباً یک قرن بعد توسط O. Frostman [158] ارائه شد) وجود پتانسیل های تعادل را با به حداقل رساندن یک درجه دوم ثابت کرد. انتگرال، انرژی این موضوع در کار ریاضیدانانی مانند D. Hilbert، Ch. -جی. de La Vallee Poussin، M. Riesz، O. Frostman، A. Beurling، و این ارتباط به ویژه در کار H. Cartan [97] در دهه 1940 آشکار شد. در پایان نامه J. Deny [119]، و در کار بعدی J. Deny و J. L.

Function spaces, especially those spaces that have become known as Sobolev spaces, and their natural extensions, are now a central concept in analysis. In particular, they play a decisive role in the modem theory of partial differential equations (PDE). Potential theory, which grew out of the theory of the electrostatic or gravita­ tional potential, the Laplace equation, the Dirichlet problem, etc. , had a fundamen­ tal role in the development of functional analysis and the theory of Hilbert space. Later, potential theory was strongly influenced by functional analysis. More re­ cently, ideas from potential theory have enriched the theory of those more general function spaces that appear naturally in the study of nonlinear partial differential equations. This book is motivated by the latter development. The connection between potential theory and the theory of Hilbert spaces can be traced back to C. F. Gauss [181], who proved (with modem rigor supplied almost a century later by O. Frostman [158]) the existence of equilibrium potentials by minimizing a quadratic integral, the energy. This theme is pervasive in the work of such mathematicians as D. Hilbert, Ch. -J. de La Vallee Poussin, M. Riesz, O. Frostman, A. Beurling, and the connection was made particularly clear in the work of H. Cartan [97] in the 1940's. In the thesis of J. Deny [119], and in the subsequent work of J. Deny and J. L.