From Gauss to Painlevé: A Modern Theory of Special Functions

پیشگفتار تابع گاما، تابع زتا، تابع تتا، تابع هندسی فوق العاده، تابع بسل، تابع هرمیت و تابع هوا، . . . نمونه هایی از آنچه که توابع ویژه می نامند هستند. اینها با جزئیات بسیار مورد مطالعه قرار گرفته اند. طبق نظر ریاضیدانان و فیزیکدانان، هر یک از آنها در دوره مناسبی آشکار شده است. توجه داشته باشید که به جز سه تابع اول، هر یک از این توابع حل معادله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرایب گویا است که همنام توابع است. به عنوان مثال، معادله بسل ساده ترین معادله دیفرانسیل معمولی خطی غیر پیش پا افتاده با یک تکینگی نامنظم است که به نظریه انبساط مجانبی منجر می شود و تابع بسل برای توصیف حرکت سیارات استفاده می شود (معادله کپلر). بسیاری از متخصصان بر این باورند که در قرن بیست و یکم، توابع Painleve به اعضای جدیدی از جامعه عملکردهای ویژه تبدیل خواهند شد. در هر صورت، امروزه ریاضیات و فیزیک به این توابع نیاز دارند. معادلات دیفرانسیل مربوطه معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی هستند که توسط P. Painleve در 1900 fqr دلایل کاملاً ریاضی یافت شده است. تنها 70 سال بعد بود که آنها در فیزیک به منظور توصیف تابع همبستگی مدل دو بعدی آیزینگ مورد استفاده قرار گرفتند. در طول 15 سال گذشته، افراد بیشتری به این معادلات علاقه مند شده اند و ویژگی های جبری، هندسی و تحلیلی خوبی پیدا شده است.

Preface The Gamma function, the zeta function, the theta function, the hyper­ geometric function, the Bessel function, the Hermite function and the Airy function, . . . are instances of what one calls special functions. These have been studied in great detail. Each of them is brought to light at the right epoch according to both mathematicians and physicists. Note that except for the first three, each of these functions is a solution of a linear ordinary differential equation with rational coefficients which has the same name as the functions. For example, the Bessel equation is the simplest non-trivial linear ordinary differential equation with an irreg­ ular singularity which leads to the theory of asymptotic expansion, and the Bessel function is used to describe the motion of planets (Kepler's equation). Many specialists believe that during the 21st century the Painleve functions will become new members of the community of special func­ tions. For any case, mathematics and physics nowadays already need these functions. The corresponding differential equations are non-linear ordinary differential equations found by P. Painleve in 1900 fqr purely mathematical reasons. It was only 70 years later that they were used in physics in order to describe the correlation function of the two dimen­ sional Ising model. During the last 15 years, more and more people have become interested in these equations, and nice algebraic, geometric and analytic properties were found.