Fraktale: Theorie und Visualisierung

Wie baut man ein Fraktal?......Page 11
Weg von der Physik, hin zur Mathematik......Page 12
Grafische Iteration......Page 13
Eigenschaften des Sierpinski-Dreiecks......Page 15
Pascalsches Dreieck......Page 16
Das Chaosspiel......Page 17
Beispiel: Quadratische Iteration......Page 20
Logistische Iteration......Page 21
Beispiele......Page 23
Wie lang ist die Küstenlinie?......Page 25
Dreieck......Page 26
Teppich......Page 28
Cantor-Menge......Page 29
Teufelstreppe......Page 31
Koch-Kurve und -Schneeflocke......Page 32
Koch-Kurve......Page 33
Schneeflocke......Page 36
Dimension......Page 37
Konstruktion......Page 40
Konstruktion......Page 42
Cantor-Menge......Page 43
Hilbert-Kurve......Page 45
Peano-Kurve......Page 46
Der Raum der Fraktale......Page 49
Vollständige metrische Räume......Page 50
H(X), der Raum der Fraktale......Page 53
Die Dimension einer flächenfüllenden Kurve......Page 63
Definition der fraktalen Dimension......Page 64
Theoretische Berechnung der fraktalen Dimension......Page 67
Implementierung des „Box-Counting“-Satzes......Page 68
Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension......Page 72
Mathematischer Hintergrund......Page 75
Farbmuster im Pascalschen Dreieck......Page 77
Juliamenge......Page 81
Zentrale Idee......Page 82
Approximation der Menge Pc......Page 83
Visualisierung verschiedener Juliamengen......Page 85
Chaos-Spiel......Page 89
Selbstähnlichkeit......Page 90
Wann ist eine Menge zusammenhängend?......Page 91
Das Apfelmännchen......Page 93
Wie erstellt man bunte Bilder von Mandelbrotmengen?......Page 95
Fraktale Eigenschaften des Apfelmänchens......Page 97
Die Mandelbrotmenge ist zusammenhängend......Page 103
Gemeinsame Strukturen von Juliamengen und Mandelbrotmenge......Page 104
Andere Mandelbrotmengen......Page 107
Implementierung......Page 109
Der Sierpinski-Teppich......Page 111
Menger-Schwamm......Page 113
Linearisierung......Page 119
Konvergenzbeweis für eine Beispielfunktion......Page 120
Ausblick auf andere Verfahren......Page 121
Konvergenz......Page 124
Allgemeines zweidimensionales Newton-Verfahren......Page 126
Einzugsbereich......Page 127
Konvergenzgeschwindigkeit......Page 130
Fazit......Page 131
Konstruktionsprozess......Page 133
Variationsmöglichkeiten......Page 134
Welche Formen ergeben sich?......Page 135
Wiederholung......Page 138
Anwendung auf pythagoräische Bäume......Page 139
Implementierung in MATLAB......Page 141
vertex.m......Page 142
ptree.m......Page 143
Definition und Eigenschaften:......Page 145
Überall stetig......Page 146
Nirgends differenzierbar......Page 147
Selbstähnlichkeit bzw. Symmetrie......Page 148
Die Funktionenklasse n=0an(bnx+n)......Page 149
Nirgends differenzierbar......Page 150
Beispiele......Page 152
Anwendung auf obige Beispiele......Page 153
distZ.m......Page 154
Was ist eine Zufallszahl?......Page 155
Zufallszahlen-Generatoren......Page 156
Beispiele verschiedener Zufallszahlengeneratoren......Page 157
Zusammenfassung......Page 161
Motivation......Page 163
Die Koch-Kurve......Page 164
Das Sierpinski-Dreieck (Modell 1)......Page 168
Das Sierpinski-Dreieck (Modell 2)......Page 170
Erstes Beispiel: Clusterbildung im Dreieck......Page 173
Zweites Beispiel: Waldbrände......Page 175
Folgerungen......Page 180
Zusammenfassung......Page 181
Die eindimensionale symmetrische Irrfahrt......Page 183
Die mehrdimensionale Irrfahrt......Page 185
Mathematische Aussagen zur Irrfahrt......Page 194
Irrfahrten als Modelle......Page 196
Implementierung......Page 197
Definition und Eigenschaften der Brownschen Bewegung......Page 200
Die Brownsche Bewegung am Beispiel der Aggregation......Page 202
Implementierung......Page 204
Analyse eines Aktienkurses......Page 208
Begriffserklärungen......Page 209
Die Formel von Black und Scholes......Page 211
Implementierung......Page 212
Beispiel zur Diffusion......Page 213
Echte Landschaften......Page 225
Der „konstante“ Bergdurchschnitt......Page 227
Der Erwartungswert......Page 241
Die Varianz......Page 243
Die Standardabweichung......Page 244
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen......Page 245
Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen......Page 249
Noch natürlichere Berge …......Page 251
Landschaftsbeispiele......Page 252
Zweidimensionale Wolken......Page 254
Dreidimensionale Wolken......Page 256
Affine Transformationen......Page 257
Der Algorithmus der MRCM......Page 259
Beispiele in MATLAB......Page 262
Das Prinzip der IFS......Page 265
Der Algorithmus der IFS......Page 267
Beispiele in MATLAB......Page 268
Das Prinzip der L-Systems......Page 273
Beispiele zu den L-Systems......Page 274
Die Algorithmen......Page 276
Geschichte......Page 284
Begriffe......Page 285
Methoden......Page 286
Nachteile......Page 291
Was sind zelluläre Automaten?......Page 293
Nachbarschaften......Page 294
1of8-Rule......Page 296
Binäraddition (Sierpinski-Dreieck-Regel)......Page 297
Parity-Rule......Page 299
Anwendungen......Page 300
HPP-Modell......Page 301
Majority-Rule......Page 302
Sand......Page 303
Feuer......Page 304
Game of Life......Page 306
Regeln......Page 307
Eigenschaften......Page 308
Universal Computing......Page 309
Timer......Page 311
Regelset......Page 312
Visualisierung einer Matrix......Page 313
Fazit......Page 314
Einführung......Page 315
Sensitivität......Page 316
Die Mischungseigenschaft......Page 324
Periodische Punkte......Page 325
Kneten durch Strecken und Falten......Page 326
Vergleich der Knetvorgänge......Page 327
Formeln für die Knetvorgänge......Page 329
Kneten und der quadratische Iterator......Page 331
Die Sägezahnfunktion anders notiert......Page 332
Chaos für die Sägezahnfunktion......Page 334
Chaos für die Zeltfunktion......Page 338
Chaos für den quadratischen Iterator......Page 342
Wie vererbt sich Chaos?......Page 346
Sind die Eigenschaften von Chaos unabhängig?......Page 348
Fehlerhafte Computerberechnungen......Page 350
Das Beschattungslemma......Page 351
Parabel......Page 354
Quadratischer Iterator (inkl. Iteration von Intervallen)......Page 355
Sägezahnfunktion......Page 356
Differenz von zwei Zeitreihen......Page 357
Was ist ein Attraktor?......Page 359
Seltsame oder chaotische Attraktoren......Page 360
Dynamische Systeme......Page 361
Numerische Lösungsverfahren......Page 362
Der Rössler-Attraktor......Page 364
Was beschreibt das Lorenz-Modell?......Page 366
Grundgleichungen des Systems......Page 368
Das Lorenz-Modell......Page 370
Die Attraktor-Eigenschaft......Page 372
Der Henon-Attraktor......Page 373
Geometrische Betrachtung......Page 376
Dynamische Betrachtung......Page 377
Was bedeutet Selbstähnlichkeit in der Musik?......Page 381
Wie sieht Musik in MATLAB aus?......Page 383
Selbstähnlichkeit durch Rekursivität......Page 387
Selbstähnlichkeit durch Kopieren und Skalieren......Page 391
Andere Arten der Erzeugung......Page 400
Die assemble-Funktion......Page 404
Die c-Funktion......Page 406
Fazit......Page 407
Abbildungsverzeichnis......Page 409
Tabellenverzeichnis......Page 419
Literaturverzeichnis......Page 421