Fractional and Multivariable Calculus : Model Building and Optimization Problems

این کتاب درسی رویکرد دقیقی را برای محاسبات چند متغیره در زمینه ساخت مدل و مسائل بهینه‌سازی ارائه می‌کند. این مرور جامع بر اساس سخنرانی‌هایی است که در پنج مدرسه SERC از سال 2008 تا 2012 ارائه شده است و طیف گسترده‌ای از موضوعات را پوشش می‌دهد که خوانندگان را قادر می‌سازد تا مدل‌های قطعی و غیر قطعی را درک کرده و ایجاد کنند. پژوهشگران، دانشجویان پیشرفته کارشناسی و کارشناسی ارشد در ریاضیات، آمار، فیزیک، مهندسی و علوم زیستی این کتاب را منبع ارزشمندی برای یافتن مدل‌های مناسب برای توصیف موقعیت‌های واقعی می‌دانند.

فصل اول. با مقدمه ای بر حساب کسری شروع می شود و به بحث در مورد انتگرال های کسری، مشتقات کسری، معادلات دیفرانسیل کسری و حل آنها می پردازد. حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره در فصل دوم پوشش داده شده و مبانی حساب چند متغیره (توابع چند متغیره، حدود و پیوستگی، تمایزپذیری، مشتقات جهتی و بسط توابع چند متغیره) را معرفی می کند. مثال های گویا، فرآیند ورودی-خروجی، بازیابی بهینه توابع و تقریب ها ارائه شده است. هر بخش تعداد زیادی تمرین را برای افزایش درک مطالب فهرست می کند. فصل سوم به بررسی مدل‌های قطعی/ریاضی و بهینه‌سازی می‌پردازد که از معادلات دیفرانسیل، معادلات تفاوت، مدل‌های جبری، مدل‌های تابع توان، مدل‌های ورودی-خروجی و مدل‌های مسیر تکامل می‌یابند. مدل های انتگرال و مشتق کسری مورد بررسی قرار می گیرند. فصل چهارم مدل های غیر قطعی/ تصادفی را پوشش می دهد. مدل پیاده‌روی تصادفی، مدل فرآیند انشعاب، مدل فرآیند تولد و مرگ، مدل‌های سری زمانی و مدل‌های نوع رگرسیون بررسی می‌شوند. فصل پنجم طراحی بهینه را پوشش می دهد. مدل های خطی عمومی از نقطه نظر آماری معرفی شده اند. قضیه گاوس-مارکف، اشکال درجه دوم و معکوس های تعمیم یافته ماتریس ها پوشش داده شده است. مدل‌های مسیر، متقارن و نامتقارن در فصل ششم پوشش داده شده‌اند، مفاهیم با نمودارها نشان داده شده‌اند.

This textbook presents a rigorous approach to multivariable calculus in the context of model building and optimization problems. This comprehensive overview is based on lectures given at five SERC Schools from 2008 to 2012 and covers a broad range of topics that will enable readers to understand and create deterministic and nondeterministic models. Researchers, advanced undergraduate, and graduate students in mathematics, statistics, physics, engineering, and biological sciences will find this book to be a valuable resource for finding appropriate models to describe real-life situations.

The first chapter begins with an introduction to fractional calculus moving on to discuss fractional integrals, fractional derivatives, fractional differential equations and their solutions. Multivariable calculus is covered in the second chapter and introduces the fundamentals of multivariable calculus (multivariable functions, limits and continuity, differentiability, directional derivatives and expansions of multivariable functions). Illustrative examples, input-output process, optimal recovery of functions and approximations are given; each section lists an ample number of exercises to heighten understanding of the material. Chapter three discusses deterministic/mathematical and optimization models evolving from differential equations, difference equations, algebraic models, power function models, input-output models and pathway models. Fractional integral and derivative models are examined. Chapter four covers non-deterministic/stochastic models. The random walk model, branching process model, birth and death process model, time series models, and regression type models are examined. The fifth chapter covers optimal design. General linear models from a statistical point of view are introduced; the Gauss–Markov theorem, quadratic forms, and generalized inverses of matrices are covered. Pathway, symmetric, and asymmetric models are covered in chapter six, the concepts are illustrated with graphs.