Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen: Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weierstrass

Front Matter....Pages I-XII
Allgemeine Lehrsätze betreffend diejenigen analytischen Functionen, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen....Pages 1-2
Allgemeine Lehrsätze betreffend diejenigen analytischen Functionen, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen....Pages 2-3
Allgemeine Lehrsätze betreffend diejenigen analytischen Functionen, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen....Pages 3-4
Eindeutige elliptische Functionen im weiteren Sinne....Pages 4-5
Die Function Ϭ u ....Pages 5-7
Darstellung der Function Ϭ u durch einfach unendliche Producte....Pages 7-8
Aenderung des Argumentes der Function Ϭ u um eine Periode....Pages 9-9
Die Function ℘ u ....Pages 9-10
Grenzfälle der Functionen ℘ u and Ϭ u ....Pages 10-12
Additionstheorem der Function ℘ u ....Pages 12-13
Darstellung einer elliptischen Function beliebigen Grades durch die Functionen Ϭ( u ∣ ω, ω′) und ℘( u ∣ ω,ω′)....Pages 13-13
Darstellung einer elliptischen Function beliebigen Grades durch die Functionen Ϭ( u ∣ ω, ω′) und ℘( u ∣ ω,ω′)....Pages 13-14
Integration einer elliptischen Function beliebigen Grades....Pages 15-15
Die Functionen Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u ....Pages 16-17
Die Functionen Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u ....Pages 18-19
Grenzfälle der Functionen Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u ....Pages 20-20
Verwandlungsformeln für die Functionen Ϭ u , Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u ....Pages 21-21
Verwandlungsformeln für die Quotienten zweier Ϭ-Functionen....Pages 21-22
Gleichungen zwischen den Quadraten von je drei Ϭ-Functionen....Pages 23-23
Differentialgleichungen der Ϭ-Quotienten....Pages 24-24
Vergleichung der Ϭ-Quotienten mit den Jacobischen elliptischen Functionen....Pages 24-24
Bestimmung eines primitiven Periodenpaares für das Argument der function ℘ u mittelst zweier eindeutig bestimmter Grössen K und K ′....Pages 25-26
Bestimmung der in den Verwandlungsformeln der Ϭ-Functionen vorkommenden Wurzelgrössen für ein specielles Periodenpaar....Pages 27-28
Bestimmung der Grössen mittelst zweier eindeutig bestimmter Grössen E und E ′....Pages 28-28
Darstellung der Functionen Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u durch unendliche Producte....Pages 28-29
Darstellung der Functionen Ϭ 1 u , Ϭ 2 u , Ϭ 3 u durch unendliche Producte....Pages 30-31
Bestimmung der in den Verwandlungsformeln der Ϭ-Functionen vorkommenden Wurzelgrössen durch einfach unendliche Producte....Pages 31-33
Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2ω, 2ω′) zu einem äquivalenten Periodenpaare (2ῶ, 2 ῶ′)....Pages 33-34
Einführung der Thetafunctionen. Ausdruck der vier Ϭ-Functionen durch die Functionen ϑ(υ∣τ) und Θ( u ∣ῶ,ῶ′)....Pages 34-34
Einführung der Thetafunctionen. Ausdruck der vier Ϭ-Functionen durch die Functionen ϑ(υ∣τ) und Θ( u ∣ῶ,ῶ′)....Pages 35-35
Verwandlungsformeln für die ϑ-Functionen....Pages 35-36
Grundformeln der linearen Transformation der Thetafunctionen....Pages 37-37
Additionstheoreme der Ϭ- und Θ-Functionen....Pages 38-40
Die Functionen E ( u ), Z ( u ), Ω ( u ), Θ ( u ), H ( u ), Π ( u, a ) Jacobi’s....Pages 40-42
Nach Potenzen des Moduls k fortschreitende Reihenentwickelungen für die Grössen K, K′, h ....Pages 43-44
Entwickelung der Grösse h nach Potenzen der Grösse l ....Pages 44-45
Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2ω λ , 2ω v ) zu dem Periodenpaare (2ω v ,−ω λ )....Pages 45-46
Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2ω λ , 2ω v ) zu dem Periodenpaare (2ω λ , 2ω v ±2ω λ )....Pages 47-51
Formeln zur Berechnung der Perioden und Ausdrücke der Ϭ-Functionen durch ϑ-Reihen für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 52-53
Formeln zur Berechnung der Perioden und Ausdrücke der Ϭ-Functionen durch ϑ-Reihen für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 53-54
Formeln zur Berechnung der Perioden und Ausdrücke der Ϭ-Functionen durch ϑ-Reihen für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 55-57
Formeln zur Berechnung der Perioden und Ausdrücke der Ϭ-Functionen durch ϑ-Reihen für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 58-60
Berechnung eines zu gegebenen Werthen der Functionen ℘ u und ℘′ u gehörenden Werthes des Argumentes u ....Pages 60-60
Specielle Formeln zur Berechnung eines zu gegebenen Werthen der Functionen ℘ u und ℘′ u gehörenden Werthes des Argumentes u für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 60-61
Specielle Formeln zur Berechnung eines zu gegebenen Werthen der Functionen ℘ u und ℘′ u gehörenden Werthes des Argumentes u für den Fall reeller Werthe der Invarianten....Pages 61-63
Einige durch elliptische Functionen vermittelte conforme Abbildungen....Pages 63-66
Einige durch elliptische Functionen vermittelte conforme Abbildungen....Pages 66-66
Einige durch elliptische Functionen vermittelte conforme Abbildungen....Pages 67-70
Das Quadrat des Moduls und die absolute Invariante als Functionen des Periodenverhältnisses....Pages 70-72
Das Quadrat des Moduls und die absolute Invariante als Functionen des Periodenverhältnisses....Pages 72-73
Normalform der elliptischen Integrale erster, zweiter, dritter Art....Pages 74-76
Additionstheoreme der elliptischen Integrale....Pages 76-79
Bestimmung der Perioden der aus elliptischen Functionen entspringenden Integralfunctionen....Pages 79-80
Bestimmung der Perioden der aus elliptischen Functionen entspringenden Integralfunctionen....Pages 80-83
Bestimmung der Perioden der aus elliptischen Functionen entspringenden Integralfunctionen....Pages 83-85
Bestimmung der Perioden der aus elliptischen Functionen entspringenden Integralfunctionen....Pages 85-89
Erratum....Pages 89-90
....Pages 90-94