First-Order Logic

به جز این پیشگفتار، این مطالعه کاملاً مستقل است. در نظر گرفته شده است که هم به عنوان مقدمه ای بر نظریه کمی سازی و هم به عنوان نمایشی از نتایج و تکنیک های جدید در روش های "تحلیلی" یا "بدون برش" عمل کند. ما از اصطلاح "تحلیلی" برای اعمال هر روش اثباتی استفاده می کنیم که از اصل زیرفرمول تبعیت می کند (ما چنین رویه ای را "تحلیل" فرمول در اجزای متوالی آن می دانیم). سیستم‌های بدون برش Gentzen شاید بهترین نمونه شناخته شده از روش‌های اثبات لیتیک باشند. سیستم‌های استنتاج طبیعی، اگرچه معمولاً تحلیلی نیستند، می‌توانند چنین باشند (همانطور که در [3] نشان دادیم). در این مطالعه، ما بر دیدگاه تابلو تاکید می کنیم، زیرا ما از سادگی و ظرافت ریاضی آن شگفت زده شده ایم. فصل اول کاملاً مقدماتی است. ما با مطالب مقدماتی در مورد درختان (برای روش تابلویی ضروری) شروع می کنیم و سپس به مبانی نحوی و معنایی اساسی منطق گزاره ای می پردازیم. ما از اصطلاح \"ارزش‌گذاری بولی\" به معنای هر انتساب مقادیر صدق به همه فرمول‌ها استفاده می‌کنیم که شرایط معمول جدول صدق را برای اتصالات منطقی برآورده می‌کند. با توجه به تخصیص مقادیر صدق به همه متغیرهای گزاره‌ای، ارزش‌های صدق همه فرمول‌های دیگر تحت این تخصیص معمولاً با یک روش استقرایی تعریف می‌شوند. ما در فصل اول نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان این تعریف استقرایی را صریح کرد - برای این منظور مفهوم درخت شکل‌گیری را مفید می‌یابیم (که قبلاً در مورد آن صحبت کردیم).

Except for this preface, this study is completely self-contained. It is intended to serve both as an introduction to Quantification Theory and as an exposition of new results and techniques in "analytic" or "cut-free" methods. We use the term "analytic" to apply to any proof procedure which obeys the subformula principle (we think of such a procedure as "analysing" the formula into its successive components). Gentzen cut-free systems are perhaps the best known example of ana­ lytic proof procedures. Natural deduction systems, though not usually analytic, can be made so (as we demonstrated in [3]). In this study, we emphasize the tableau point of view, since we are struck by its simplicity and mathematical elegance. Chapter I is completely introductory. We begin with preliminary material on trees (necessary for the tableau method), and then treat the basic syntactic and semantic fundamentals of propositional logic. We use the term "Boolean valuation" to mean any assignment of truth values to all formulas which satisfies the usual truth-table conditions for the logical connectives. Given an assignment of truth-values to all propositional variables, the truth-values of all other formulas under this assignment is usually defined by an inductive procedure. We indicate in Chapter I how this inductive definition can be made explicit-to this end we find useful the notion of a formation tree (which we discuss earlier).