Finite-Elemente-Methode : rechnergestützte Einführung ; mit 39 Tabellen

Buchcover......Page 1
Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung, 2. Auflage......Page 4
ISBN 978-3-540-72235-9......Page 5
Vorwort......Page 6
Vorwort zur zweiten Auflage......Page 7
Updates......Page 8
Inhaltsverzeichnis......Page 10
1.1 Vorgehensweise bei der FEM......Page 20
1.2 Verschiedene Elementtypen......Page 22
1.3.1 Beispiel zu nichtlinearen Problemen......Page 27
1.3.2 Beispiele zur Optimierung Formoptimierung......Page 28
Topologieoptimierung......Page 29
Mathematische Grundlagen......Page 33
2.1 Schreibweisen......Page 36
2.2.3 Kreuzprodukt......Page 37
2.2.4 Ableitung von Vektoren Ableitung eines Vektors nach einem Skalar......Page 38
2.2.6 Der Gradientenvektor......Page 39
2.3.1 De.nition einer Matrix......Page 40
2.3.2 Rechenregeln Addition und Subtraktion......Page 41
Multiplikation zweier Matrizen......Page 42
2.3.3 Transponierte Matrix......Page 43
2.4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)......Page 44
Beispiel zum Skalarfeld......Page 45
2.5.3 Das dyadische Feld......Page 46
Beispiel zum dyadischen Feld......Page 47
2.6.1 Transformation eines Vektors......Page 49
2.6.3 Beispiele zur Transformation Gra.sche und rechnerische Transformation eines Vektors......Page 51
Addition von Federstei.gkeiten......Page 52
2.7 Funktionale......Page 53
2.7.1 Diskretisierung des Funktionals......Page 55
2.8 Dreieckskoordinaten......Page 56
2.8.1 Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) Jakobi-Matrix......Page 58
Erste Ableitungen......Page 59
Zweite Ableitungen......Page 60
Integration entlang einer Dreieckskante......Page 61
2.9.1 Numerische Integration f¨ur eindimensionale Probleme......Page 62
2.9.2 Numerische Integration in Dreieckskoordinaten......Page 63
2.10.1 De.nition der Bandbreite......Page 65
2.10.2 Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme......Page 66
2.10.3 Positiv de.nite Matrix......Page 67
2.10.4 Das Verfahren von Cholesky......Page 68
Beispiel zum Verfahren von Cholesky......Page 69
2.10.5 Kondition linearer Gleichungssysteme......Page 70
2.10.6 Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen......Page 73
2.11 Näherungsfehler bei der FEM......Page 74
2.12 Das Tonti-Diagramm......Page 75
Beschreibung elastostatischer Probleme......Page 79
3.1.1 Verkn¨upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen......Page 80
Nat¨urliche Randbedingungen......Page 81
3.1.5 Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems......Page 82
Beispiel zur Navier’schen Gleichung......Page 83
3.2.1 Das Prinzip vom Gesamtpotential......Page 84
3.2.2 Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials......Page 86
Das Verfahren von Ritz......Page 89
4 Das Verfahren von Ritz......Page 90
4.1 Aufprägen der wesentlichen Randbedingungen......Page 91
4.1.1 Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen......Page 92
4.2.1 Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit......Page 94
4.2.2 Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......Page 95
Vektor......Page 96
L¨osen des Gleichungssystems......Page 97
4.3.2 Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......Page 98
4.3.3 Variation des Gesamtpotentials......Page 99
Wesentliche Randbedingungen......Page 100
Matrix......Page 101
Rechte Seite des Gleichungssystems nach (205)......Page 102
4.4 Scheibenproblem......Page 103
4.4.2 Wesentliche Randbedingungen......Page 104
4.4.3 Dehnungen und Spannungen der Scheibe......Page 105
4.4.4 Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit......Page 106
Streckenlasten......Page 107
4.4.7 Kragbalken als Scheibenproblem......Page 108
Stei.gkeitsmatrix......Page 109
Darstellung der Verformungen......Page 110
Stabelemente......Page 113
5.1.2 Das Tonti-Diagramm des Stabes......Page 114
Randbedingungen......Page 115
Analytische L¨osung eines eindimensionalen Stabbeispieles......Page 116
5.1.4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes......Page 117
Verschiebungsansatz......Page 118
Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 119
5.1.5 Variation des Funktionals......Page 120
5.1.6 Beispiel zum eindimensionalen Stab......Page 122
Elementstei.gkeitsmatrizen......Page 123
Knotenverformungen......Page 125
Gra.sche L¨osung des Problems......Page 126
Au.agerreaktionen......Page 127
5.1.7 Direkte Erstellung der Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 128
Au.agerreaktionen aus der Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 129
5.1.8 Erstellung der Gesamtstei.gkeitsmatrix (allgemein)......Page 130
5.1.10 Variable Querschnitts.¨ache des Stabelementes......Page 132
Interpolationsbedingungen......Page 134
Formfunktionen......Page 135
5.1.12 Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten......Page 136
5.2.1 Das zweidimensionale Stabelement......Page 137
5.2.2 Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem......Page 140
Elementeinteilung......Page 141
Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 142
Schnittgr¨oßen......Page 143
Au.agerreaktionen......Page 144
5.2.3 Optimierung einer Stabstruktur......Page 145
Betrachtung des Falles......Page 146
Stabbeispiel IV......Page 147
Stabbeispiel VII......Page 148
5.2.5 Das dreidimensionale Stabelement......Page 149
Balkenelemente......Page 153
Voraussetzungen und Einschr¨ankungen der Balkentheorie:......Page 154
6.1.2 Dehnungen und Spannungen im Balken......Page 155
6.1.3 Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens......Page 156
6.1.4 Funktional des Balkenproblems......Page 157
6.1.5 Formfunktionen des eindimensionalen Balkens......Page 158
Interpolationsbedingungen......Page 159
6.1.6 Diskretisierung des Funktionals......Page 160
6.1.7 Variation des diskretisierten Funktionals......Page 162
6.1.8 Bilden der Stei.gkeitsmatrix......Page 163
6.1.9 Diskretisierung der Streckenlast......Page 164
Momentenverlauf im Element......Page 166
Vorzeichen der Schnittgr¨oßen......Page 167
Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 168
Verformungen......Page 169
Schnittgr¨oßen......Page 170
6.2.2 Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement......Page 171
Fehler in den Schnittgr¨oßen......Page 172
Fehlerabsch¨atzung der Schnittgr¨oßen......Page 173
6.2.3 Realisierung des Gelenkes ¨uber eine Zwangsbedingung......Page 174
Balkenbeispiel II......Page 176
Balkenbeispiel IV......Page 177
Ansatzfunktion......Page 178
Interpolationsbedingungen......Page 179
6.4.1 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten Ansatzfunktion......Page 181
Formfunktionen......Page 182
Streckenlast......Page 183
Schnittgr¨oßen......Page 184
Formfunktion......Page 185
Streckenlast......Page 186
Schnittgr¨oßen......Page 187
6.4.3 Balken mit unstetiger Kr¨ummungsverteilung......Page 188
6.5 Der Timoshenko-Balken......Page 189
Sto.gleichungen......Page 190
Elementde.nition und Formfunktionen......Page 191
Schubstei.gkeitsmatrix......Page 192
Streckenlasten......Page 194
Exakte L¨osung......Page 195
6.5.2 Balkenbeispiel VII......Page 196
6.6 Der elastisch gelagerte Balken......Page 197
6.6.1 Beispiel zum elastisch gelagerten Balken......Page 199
Elementstei.gkeitsmatrizen......Page 200
Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 201
Verformungen......Page 202
6.7.2 ¨Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken......Page 204
6.7.3 Stei.gkeitsmatrix......Page 205
6.7.4 Transformation der Stei.gkeitsmatrix......Page 207
Streckenlast......Page 209
Einteilung in Elemente......Page 210
Elementstei.gkeitsmatrizen......Page 211
Verformungen......Page 212
Biegelinie des Balkens......Page 213
Schnittgr¨oßen......Page 214
6.8.2 ¨Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken Balkenbeispiel VIII......Page 216
Balkenbeispiel XI......Page 217
Beispiel mit FEM GEN, FEM CAS und InterFEM......Page 218
Scheibenproblem......Page 221
7.1 Problemdefinition......Page 222
Dehnungen......Page 223
Sto.gleichungen......Page 224
7.3 Das Funktional des Scheibenproblems......Page 225
Ansatzfunktion......Page 226
Interpolationsbedingungen......Page 227
Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 228
Spannungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 229
7.4.2 Variation des diskretisierten Funktionals......Page 230
7.4.3 Diskretisierung der Volumenkr¨afte......Page 232
Beispiel zur Volumenkraft......Page 234
7.4.4 Diskretisierung der Streckenlasten......Page 235
Einteilung in Elemente......Page 238
Elementstei.gkeitsmatrizen......Page 239
Verformungen......Page 240
Spannungen......Page 241
Vergleich mit der analytischen L¨osung......Page 243
Scheibenproblem III......Page 244
Platten und Schalenelemente......Page 247
8.2.1 Voraussetzungen bei der Kirchho.-Platte......Page 248
Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 250
8.2.3 Kr¨ummungs-Momenten-Beziehung (Sto.gleichung)......Page 251
8.2.5 Randbedingungen der Platte......Page 253
8.3 Das Funktional der Platte......Page 254
8.4.1 Kompatibilit¨at (konforme Elemente)......Page 256
8.4.2 Starrk¨orperbewegung......Page 257
8.4.4 Einige Dreiecksplattenelemente......Page 258
8.5.1 Ansatzfunktion f¨ur die Durchbiegung......Page 260
8.5.2 Interpolationsbedingungen......Page 261
8.5.3 Formfunktionen......Page 264
8.5.4 Kr¨ummungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 265
8.5.5 Stei.gkeitsmatrix......Page 266
8.5.7 Streckenlast entlang einer Elementkante......Page 267
8.6 Konvergenztest des Plattenelementes......Page 268
8.7 Schalenelement......Page 270
Feldprobleme......Page 277
9 Feldprobleme......Page 278
9.1.2 Randbedingungen......Page 280
9.1.3 Das Funktional der W¨arme¨ubertragung......Page 281
9.2.1 Problemde.nition......Page 282
9.2.3 Diskretisierung des Funktionals......Page 283
W¨armeleitung......Page 284
Konvektionsmatrix......Page 285
W¨arme¨ubergangsvektor......Page 286
9.2.4 Variation des Funktionals......Page 287
W¨armeleitungsund Konvektionsmatrizen......Page 288
Rechte Seite des Problems......Page 289
W¨armestrom bei zwei Elementen......Page 291
Fehlerbetrachtung beim zweiknotigen Element......Page 292
W¨arme¨ubertragungsbeispiel II......Page 293
9.3.1 Problemde.nition......Page 294
9.3.2 Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ubertragung......Page 295
W¨armeleitung......Page 296
Innere W¨armequellen......Page 298
Konvektionsmatrix......Page 300
W¨arme¨ubergangsvektor......Page 302
9.3.4 Variation des Funktionals......Page 303
Rechte Seite......Page 304
Problembeschreibung......Page 305
W¨armeleitungsmatrizen......Page 306
Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 307
Temperaturen......Page 308
Gleichgewichtsbetrachtung......Page 309
W¨arme¨ubertragungsbeispiel V......Page 310
W¨arme¨ubertragungsbeispiel VIII (FEM GEN, FEM CAS, InterFEM)......Page 311
9.6 Torsion von prismatischen Körpern......Page 312
9.6.2 Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt......Page 315
Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨aben und Balken......Page 319
10.1 Der eindimensionale Stab......Page 320
10.1.2 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen......Page 321
Eigenwert und Eigenfrequenz......Page 323
Eigenwerte und Eigenfrequenzen......Page 324
Eigenvektor und Schwingungsform......Page 325
10.3.1 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens......Page 327
10.4.1 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken Eigenwerte und Eigenfrequenzen......Page 328
Eigenvektoren......Page 329
Schwingungsformen......Page 330
Eigenvektoren des Kragbalkens......Page 331
Schwingungsformen des Kragbalkens......Page 332
Nichtlineare Probleme......Page 335
11.1.1 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung......Page 336
11.1.3 Stab mit großen Verformungen......Page 337
Dehnungen f¨ur große Verschiebungen......Page 338
Diskretisierung des Gesamtpotentials......Page 339
11.1.4 Balken mit großen Verformungen......Page 340
Formfunktionen......Page 341
Form¨anderungsarbeit des Balkens......Page 342
Diskretisierung des Gesamtpotentials......Page 343
11.2 Knicken von Stäben und Balken......Page 344
Stei.gkeitsmatrizen......Page 346
Gesamtstei.gkeitsmatrix......Page 347
Eigenwerte des Systems......Page 348
Geometrische Randbedingungen......Page 349
Bestimmung der Eigenform......Page 350
11.2.3 Die vier Eulerf¨alle Das zweiknotige Element......Page 352
11.2.4 ¨Ubungsaufgabe: Das dreiknotige Balkenelement......Page 353
CALL for FEM......Page 355
FEM CAS......Page 356
FEM Gra.k......Page 357
Dynamik Balken......Page 358
Verfahren von Ritz......Page 359
12.2.2 Das Programm InterFEM Problemde.nition......Page 360
Beispiel zu den Programmen FEM GEN, FEM CAS, InterFEM und FEM Gra.k......Page 361
12.2.3 Das Verfahren von Ritz f¨ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab)......Page 362
Beispiel zum eindimensionalen Stab......Page 363
12.2.4 Das Verfahren von Ritz f¨ur den Balken (Ritz Balken)......Page 364
Beispiel zum eindimensionalen Balken......Page 365
Programmdaten......Page 366
Beispiel zur Scheibe......Page 367
12.2.6 Eindimensionales Stabelement (Stab 1D) Problemde.nition......Page 368
Beispiel zum eindimensionalen Stab......Page 369
12.2.7 Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) Problemde.nition......Page 370
Programmdaten......Page 371
12.2.8 Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) Problemde.nition......Page 372
12.2.10 Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Problemde.nition......Page 373
Beispiel zum Knicken eines eindimensionalen Balkens......Page 374
Beispiel zu Eigenfrequenzen und Schwingungsformen......Page 375
Beispiel zum eindimensionalen Feldproblem......Page 376
Beispiel zum zweidimensionalen Feldproblem......Page 377
Beispiele zu den Programmen......Page 379
Elementeinteilung und Datensatz......Page 380
13.2 Scheibe gestützt durch eine Feder......Page 381
Verformungen......Page 382
Elementeinteilung und Datensatz......Page 384
Verh¨altnis der maximalen Schubspannung von Dreieck und Quadrat......Page 385
Feineres Netz......Page 386
Allgemein verwendete Symbole......Page 388
Superskripte......Page 389
Lateinische Buchstaben......Page 390
Vektoren......Page 392
Matrizen/Tensoren......Page 394
Griechische Buchstaben......Page 396
Literatur......Page 398
Sachverzeichnis......Page 402
Programme......Page 410