Field Arithmetic

Field Arithmetic میدان‌های دیوفانتین را از طریق گروه‌های Galois مطلق آنها بررسی می‌کند. این درمان عمدتاً مستقل با تکنیک‌هایی از هندسه جبری، نظریه اعداد و گروه‌های سودمند شروع می‌شود. دانشجویان فارغ التحصیل می توانند به طور موثر تعمیم ایده های میدان محدود را بیاموزند. برای جایگزینی آرگومان های شمارش، از اندازه گیری هار روی گروه گالوا مطلق استفاده می کنیم. انواع جدید چگالی Chebotarev خواص دیوفانتین را تفسیر می کنند. در اینجا ما تنها درمان کامل لایه‌بندی‌های Galois را داریم که توسط Denef و Loeser و همکارانش برای مطالعه انگیزه‌های Chow بیانیه‌های Diophantine استفاده شده است.

پیشرفت از نسخه اول با مشخص کردن میدان محدود مانند P( seudo) A (جبری) C (از دست رفته) زمینه ها. زمانی معتقد بودیم که میدان‌های PAC نادر هستند. اکنون می دانیم که آنها شامل بسط های ارزشمند گالوایی از عقلایی هستند که گروه گالوای مطلق خود را از طریق گروه های شناخته شده ارائه می کنند. میدان های PAC دارای گروه Galois مطلق تصویری هستند. آنهایی که هیلبرتین هستند با این گروه که طرفدار آزاد هستند مشخص می شوند. این نتایج دهه گذشته ابزارهایی برای مطالعه رشته ها با ارتباط آنها با رشته های دارای گروه مطلق تصویری هستند. هنوز مشکلات مرموز برای هدایت نسل جدید وجود دارد: آیا بسته شدن منطقی PAC قابل حل است؟ و آیا میدان‌های هیلبرتین تصویری دارای گروه گالوا مطلق طرفدار آزاد هستند (شامل حدس شافارویچ)؟

ویرایش سوم ویرایش دوم را به دو صورت بهبود می‌بخشد: اول بسیاری از غلط‌های املایی و ریاضیاتی را که در ویرایش دوم رخ می‌دهد حذف می‌کند. (به ویژه در مراجع). ثانیاً، ویرایش سوم در مورد پنج مشکل باز (از سی و چهار مشکل باز ویرایش دوم) گزارش می دهد که از زمان انتشار آن نسخه در سال 2005 تا حدی یا به طور کامل حل شده است.

Field Arithmetic explores Diophantine fields through their absolute Galois groups. This largely self-contained treatment starts with techniques from algebraic geometry, number theory, and profinite groups. Graduate students can effectively learn generalizations of finite field ideas. We use Haar measure on the absolute Galois group to replace counting arguments. New Chebotarev density variants interpret diophantine properties. Here we have the only complete treatment of Galois stratifications, used by Denef and Loeser, et al, to study Chow motives of Diophantine statements.

Progress from the first edition starts by characterizing the finite-field like P(seudo)A(lgebraically)C(losed) fields. We once believed PAC fields were rare. Now we know they include valuable Galois extensions of the rationals that present its absolute Galois group through known groups. PAC fields have projective absolute Galois group. Those that are Hilbertian are characterized by this group being pro-free. These last decade results are tools for studying fields by their relation to those with projective absolute group. There are still mysterious problems to guide a new generation: Is the solvable closure of the rationals PAC; and do projective Hilbertian fields have pro-free absolute Galois group (includes Shafarevich's conjecture)?

The third edition improves the second edition in two ways: First it removes many typos and mathematical inaccuracies that occur in the second edition (in particular in the references). Secondly, the third edition reports on five open problems (out of thirtyfour open problems of the second edition) that have been partially or fully solved since that edition appeared in 2005.