Fat manifolds and linear connections

دسته بندی: ریاضیات
ویرایش:  
نویسندگان: Alessandro De Paris. Alexandre M  
سری:  
ISBN (شابک) : 9789812819048, 9812819045 
ناشر: World Scientific 
سال نشر: 2009 
تعداد صفحات: 310 
زبان: English 
فرمت فایل : PDF (درصورت درخواست کاربر به PDF، EPUB یا AZW3 تبدیل می شود) 
حجم فایل: 2 مگابایت 

قیمت کتاب (تومان) : 35,000

نظریه اتصالات نه تنها در ریاضیات محض (هندسه دیفرانسیل و جبری)، بلکه در فیزیک ریاضی و نظری (نسبیت عام، میدان‌های اندازه‌گیری، مکانیک رسانه‌های پیوسته) مرکزی است. رویکرد استاندارد اکنون به این موضوع توسط Ch. Ehresmann 60 سال پیش، اولین ریاضیدانان و فیزیکدانان بعدی را با سادگی هندسی شفاف خود جذب کرد. متأسفانه، به تعدادی از موقعیت‌های اخیراً با اهمیت قابل توجه (تکینگی‌ها، ابرمنیفولدها، جت‌های بی‌نهایت و حساب ثانویه و غیره) به خوبی گسترش نمی‌یابد. علاوه بر این، به درک ساختار حساب دیفرانسیل و انتگرال که به طور طبیعی با یک اتصال مرتبط است کمکی نمی کند.

در این کتاب منحصر به فرد، که به شیوه ای منطقی و مستقل نوشته شده است، نظریه اتصالات خطی به طور سیستماتیک به عنوان بخشی طبیعی از حساب دیفرانسیل بر روی جبرهای جابجایی ارائه شده است. این امر نه تنها تعمیم های متعددی را از نظریه کلاسیک آسان و طبیعی می کند و جنبه های مختلف جدیدی از آن را آشکار می کند، بلکه ساختار ذاتی حساب دیفرانسیل مرتبط را نیز به شیوه ای واضح و شفاف نشان می دهد. مفهوم \"منیفولد چربی\" که در اینجا معرفی شد سپس به خواننده اجازه می‌دهد تا یک قیاس خوب از این \"حساب اتصال\" با حالت معمول بسازد.

محتوا: عناصر حساب دیفرانسیل بر روی جبرهای جابجایی: ; ابزار جبری; منیفولدهای صاف؛ بسته های وکتور; فیلدهای برداری; فرم های دیفرانسیل؛ مشتق دروغ; حساب دیفرانسیل پایه روی منیفولدهای چربی: ; تعاریف اساسی؛ جبر دروغ اپراتورها; فیلدهای وکتور چربی; فیلدهای چربی و میدان های برداری در فضای کل. اپراتورهای القایی؛ مسیرهای چربی؛ ساختارهای درونی؛ اتصالات خطی: ; تعاریف و مثال های اساسی؛ ترجمه موازی; انحنای؛ عملیات با اتصالات خطی. اتصالات خطی و ساختارهای داخلی. دیفرانسیل کوواریانس: ; مجتمع های Fat de Rham; دیفرانسیل کوواریانس; اتصالات خطی سازگار؛ اتصالات خطی در امتداد نقشه های چربی. مشتق دروغ Covariant; گیج/ساختارهای چربی و اتصالات خطی. جنبه های همولوژیکی اتصالات خطی: ; یک مثال مقدماتی؛ Cohomology اتصالات خطی مسطح. معادلات ماکسول؛ فرمول هموتوپی برای اتصالات خطی. کلاس های مشخصه

The theory of connections is central not only in pure mathematics (differential and algebraic geometry), but also in mathematical and theoretical physics (general relativity, gauge fields, mechanics of continuum media). The now-standard approach to this subject was proposed by Ch. Ehresmann 60 years ago, attracting first mathematicians and later physicists by its transparent geometrical simplicity. Unfortunately, it does not extend well to a number of recently emerged situations of significant importance (singularities, supermanifolds, infinite jets and secondary calculus, etc.). Moreover, it does not help in understanding the structure of calculus naturally related with a connection.

In this unique book, written in a reasonably self-contained manner, the theory of linear connections is systematically presented as a natural part of differential calculus over commutative algebras. This not only makes easy and natural numerous generalizations of the classical theory and reveals various new aspects of it, but also shows in a clear and transparent manner the intrinsic structure of the associated differential calculus. The notion of a "fat manifold" introduced here then allows the reader to build a well-working analogy of this "connection calculus" with the usual one.

Contents: Elements of Differential Calculus over Commutative Algebras: ; Algebraic Tools; Smooth Manifolds; Vector Bundles; Vector Fields; Differential Forms; Lie Derivative; Basic Differential Calculus on Fat Manifolds: ; Basic Definitions; The Lie Algebra of Der-operators; Fat Vector Fields; Fat Fields and Vector Fields on the Total Space; Induced Der-operators; Fat Trajectories; Inner Structures; Linear Connections: ; Basic Definitions and Examples; Parallel Translation; Curvature; Operations with Linear Connections; Linear Connections and Inner Structures; Covariant Differential: ; Fat de Rham Complexes; Covariant Differential; Compatible Linear Connections; Linear Connections Along Fat Maps; Covariant Lie Derivative; Gauge/Fat Structures and Linear Connections; Cohomological Aspects of Linear Connections: ; An Introductory Example; Cohomology of Flat Linear Connections; Maxwell's Equations; Homotopy Formula for Linear Connections; Characteristic Classes.