Fastperiodische Funktionen

این کتاب درباره توابع نزدیک به تناوبی در گروه ها است. تئوری این توابع، از جمله، شامل سری توابع تناوبی فوریه، توابع نزدیک تناوبی واقعی ایجاد شده توسط H. BOHR و توابع کروی به عنوان موارد خاص است. اساساً، تئوری توابع نزدیک به تناوبی روی گروه ها چیزی نیست جز نظریه بازنمایی گروه های دلخواه و بالاتر از همه بی نهایت. مهمترین کاربرد قضایای اصلی در مورد توابع تقریباً تناوبی برای گروهها احتمالاً v است. به اثبات نویمان مراجعه کنید، که نشان می‌دهد هر گروه فشرده و n بعدی یک نمایش واحد محدود وفادار دارد. استفاده از جملات v. نظریه گروه های خطی نیومن را می توان از این نتیجه گرفت که هر گروه n بعدی فشرده یک گروه پیوسته Liesche است. مسئله معروف V. Hilbert، که با این حال، مربوط به حتی کلی تر، برای مثال گروه های فشرده محلی است، به طور رضایت بخشی توسط این قضیه برای مورد گروه های فشرده حل شده است. تمامی مشکلات، جملات و ارتباطات توضیح داده شده در این کتاب توضیح داده شده و اثبات شده است. اگرچه این تنها بیانگر گزیده ای خاص (به نظر من، به ویژه زیبا) از حوزه کلی نظریه توابع تقریباً تناوبی است، خواننده همچنان باید بتواند هر رساله ای را که به توابع تقریباً تناوبی اشاره دارد، بدون هیچ مشکلی بخواند. فهمیدن. در بخش آخر این کتاب نیز تلاش شده است تا یک نمای کلی از کل ناحیه توابع نزدیک به تناوبی ارائه شود. برخی از منابع ادبی موجود در این بخش ممکن است ناخوشایند تلقی شوند.

Das vorliegende Buch handelt von den fastperiodischen Funktionen auf Gruppen. Die Theorie dieser Funktionen erfaßt als Spezialfälle unter anderem die Fourierreihen periodischer Funktionen, die eigent­ lichen von H. BOHR geschaffenen fastperiodischen Funktionen und die Kugelfunktionen. Im Grunde ist die Theorie der fastperiodischen Funk­ tionen auf Gruppen nichts anderes als die Darstellungstheorie beliebiger, also vor allem auch unendlicher Gruppen. Als wichtigste Anwendung der Hauptsätze über fastperiodische Funktionen auf Gruppen darf man wohl die v. Neumannsehe Beweisführung ansehen, welche zeigt, daß jede kompakte, n-dimensionale Gruppe eine treue endliche unitäre Dar­ stellung besitzt. Unter Benutzung von Sätzen aus v. Neumanns Theorie der linearen Gruppen kann hieraus gefolgert werden, daß jede kompakte n-dimensionale Gruppe eine Liesche kontinuierliche Gruppe ist. Das bekannte V. Hilbertsche Problem, welches sich allerdings auf noch allgemeinere, etwa lokalkompakte Gruppen bezieht, ist durch diesen Satz für den Fall kompakter Gruppen befriedigend gelöst. Alle an­ gedeuteten Probleme, Sätze und Zusammenhänge werden in diesem Buche erläutert und bewiesen. Obwohl damit nur ein gewisser (wie mir scheint, besonders schöner) Ausschnitt aus dem Gesamtgebiet der Theorie fastperiodischer Funktionen wiedergegeben wird, dürfte der Leser wohl trotzdem durch die Lektüre in den Stand gesetzt werden, jede Abhandlung, welche sich auf fastperiodische Funktionen bezieht, ohne Schwierigkeiten zu verstehen. In dem letzten Abschnitt dieses Buches wird außerdem versucht, in kurzen Worten einen Überblick über das Gesamtgebiet der fastperiodischen Funktionen zu geben. Einzelne Literaturhinweise, die diesem Abschnitt beigefügt sind, wer­ den möglicherweise als dngenehm empfunden werden.