Families of Automorphic Forms

اشکال خودموخت در سطح نیمه بالایی برای مدت طولانی مورد مطالعه قرار گرفته اند. بیشترین توجه به اشکال اتومورفیک هولومورف با کاربردهای متعدد در نظریه اعداد معطوف شده است. ماس، [34]، یک مطالعه سیستماتیک از اشکال خودکار تحلیلی واقعی را آغاز کرد. او رابطه هکی را بین فرم های خودمورفیک و سری دیریکله به فرم های خودکار تحلیلی واقعی گسترش داد. نام های سلبرگ و رولکه به نظریه طیفی اشکال خودکار تحلیلی واقعی متصل می شوند. g. ، [50]، [51]. این در فرمول ردیابی سلبرگ به اوج خود می رسد، ببینید، e. g. ، حجهل، [21]. شکل خودکار عملکردی در نیمه بالایی با رفتار شکل گیری خاص تحت یک گروه ناپیوسته از حرکات غیر اقلیدسی در سطح نیمه بالایی است. ممکن است کسی بپرسد که اگر این گروه از حرکات را مختل کند، اشکال خودکار چگونه تغییر می کنند. این سوال توسط، E. g. ، هژال، [22] و فیلیپس و سرناک، [46]. هژال همچنین در مورد اثر تغییرات ضریب ضریب (عملکردی بر روی گروه ناپیوسته که در توصیف رفتار دگرگونی اشکال خود شکل رخ می دهد) بحث می کند. در [5]-[7] من تنوع اشکال اتومورفیک را برای گروه مدولار کامل تحت اختلال سیستم m-typlier در نظر گرفتم. روشی مبتنی بر ایده‌های Colin de Verdi' ere [11]، [12]، ادامه مرومورفیک سری E آیزنشتاین و پوانکار را به‌عنوان توابعی از مقدار ویژه و سیستم ضریب به طور مشترک ارائه داد. مطالعه حاضر از طرحی برای گسترش این نتایج به گروه های بسیار کلی تر (زیرگروه های co?nite گسسته SL (R)) ناشی شد.

Automorphic forms on the upper half plane have been studied for a long time. Most attention has gone to the holomorphic automorphic forms, with numerous applications to number theory. Maass, [34], started a systematic study of real analytic automorphic forms. He extended Hecke’s relation between automorphic forms and Dirichlet series to real analytic automorphic forms. The names Selberg and Roelcke are connected to the spectral theory of real analytic automorphic forms, see, e. g. , [50], [51]. This culminates in the trace formula of Selberg, see, e. g. , Hejhal, [21]. Automorphicformsarefunctionsontheupperhalfplanewithaspecialtra- formation behavior under a discontinuous group of non-euclidean motions in the upper half plane. One may ask how automorphic forms change if one perturbs this group of motions. This question is discussed by, e. g. , Hejhal, [22], and Phillips and Sarnak, [46]. Hejhal also discusses the e?ect of variation of the multiplier s- tem (a function on the discontinuous group that occurs in the description of the transformation behavior of automorphic forms). In [5]–[7] I considered variation of automorphic forms for the full modular group under perturbation of the m- tiplier system. A method based on ideas of Colin de Verdi` ere, [11], [12], gave the meromorphic continuation of Eisenstein and Poincar´ e series as functions of the eigenvalue and the multiplier system jointly. The present study arose from a plan to extend these results to much more general groups (discrete co?nite subgroups of SL (R)).