Factorization of Matrix Functions and Singular Integral Operators

چند سال قبل نویسندگان پروژه ای از کتابی را در مورد نظریه سیستم های معادلات انتگرال تک بعدی آغاز کردند که به عنوان ادامه تک نگاری توسط یکی از نویسندگان و N. Ya برنامه ریزی شده بود. Krupnik ~~ در مورد معادلات اسکالر. این مجموعه یادداشت ها به عنوان فصلی آغاز شد که به مسائل فاکتورسازی توابع ماتریس در مقابل کاربردهای سیستم های معادلات انتگرال منفرد می پردازد. با کار سیستماتیک بر روی این فصل و افزودن دیدگاه‌های جدید، براهین و نتایج جدید، در نهایت دیدیم که مطالب مرتبط با فاکتورگیری‌ها مورد توجه مستقل هستند و تصمیم گرفتیم این فصل را به عنوان جلد جداگانه منتشر کنیم. در واقع، به دلیل فعالیت اخیر، حجم مطالب بسیار زیاد بود و ما به سرعت متوجه شدیم که نمی‌توانیم همه نتایج را با جزئیات کامل پوشش دهیم. ما سعی کرده‌ایم تنوعی از انواع روش‌ها، تکنیک‌ها، نتایج و کاربردها را در بر داشته باشیم. جدای از کار کنونی، نتایجی از ادبیات روسی که هرگز در ترجمه انگلیسی ظاهر نشده اند، به نمایش می گذارد. ما همچنین تصمیم گرفته‌ایم برخی از نتایج اخیر را که ارتباط جالبی بین عامل‌سازی توابع ماتریس و نظریه سیستم‌ها ایجاد می‌کنند، منعکس کنیم. این زمینه بسیار فعال باقی مانده است و بسیاری از نتایج و پیوندها هنوز درک نشده اند. این یادداشت ها باید به عنوان پله ای برای توسعه بیشتر در نظر گرفته شوند. نویسندگان امیدوارند که زمانی برای تکمیل طرح اصلی خود بازگردند.

A few years aga the authors started a project of a book on the theory of systems of one-dimensional singular integral equa­ tions which was planned as a continuation of the monograph by one of the authors and N. Ya. Krupnik ~~ concerning scalar equa­ tions. This set of notes was initiated as a chapter dealing with problems of factorization of matrix functions vis-a-vis appli­ cations to systems of singular integral equations. Working systematically onthischapter and adding along the way new points of view, new proofs and results, we finally saw that the material connected with factorizations is of independent interest and we decided to publish this chapter as aseparate volume. In fact, because of recent activity, the amount of material was quite large and we quickly learned that we cannot cover all of the results in complete detail. We have tried to include a represen­ tative variety of all kinds of methods, techniques,results and applications. Apart of the current work exposes results from the Russian literature which have never appeared in English translation. We have also decided to reflect some of the recent results which make interesting connections between factorization of matrix functions and systems theory. The field remains very active and many results and connec­ tions are still not weIl understood. These notes should be viewed as a stepping stone to further development. The authors hope that sometime they will return to complete their original plan.