Extrema of Smooth Functions: With Examples from Economic Theory

اغراق نیست اگر بگوییم که اکثر مسائلی که در تئوری اقتصادی به آنها پرداخته می شود را می توان به عنوان مسائل در نظریه بهینه سازی فرموله کرد. این امر برای پارادایم بهینه‌سازی «رفتاری» در تعقیب منافع فردی و تخصیص منابع کارآمد اجتماعی، و همچنین برای پارادایم‌های تعادلی که مشکلات وجود و پایداری در پویایی اغلب می‌تواند به عنوان مشکلات «بالقوه» بیان شود صادق است. در بهینه سازی به همین دلیل، کتاب‌های اقتصاد ریاضی و ریاضیات برای اقتصاددانان توجه قابل توجهی به نظریه بهینه‌سازی دارند. با این حال، با استثنائات بسیار کمی، خواننده ای که علاقه مند به مطالعه بیشتر است، با این تصور مواجه می شود که جای دیگری برای رفتن وجود ندارد و آنچه در این منابع دست دوم وجود دارد، همه اینها تا آنجا که موضوع بهینه سازی در دسترس است. نظریه مربوط می شود. از سوی دیگر، نتایج اصلی ریاضیات اغلب با بی دقتی بیان می شوند یا اغلب به طور رسمی بیان نمی شوند. علاوه بر این، باید به خوبی درک کرد که نظریه اقتصادی به طور کلی و اقتصاد ریاضی به طور خاص، باید به عنوان انواع خاصی از ریاضیات کاربردی یا، به طور دقیق تر، ریاضیات انگیزشی طبقه بندی شوند، زیرا ابزارهای تحلیل ریاضی برای اثبات قضایا در زمینه اقتصاد استفاده می شود. به روشی که نظریه احتمالات ممکن است طبقه بندی شود. از این رو، دقت و دانش صحیح از اهمیت بالایی برخوردار است و قابل مصالحه نیست.

It is not an exaggeration to state that most problems dealt with in economic theory can be formulated as problems in optimization theory. This holds true for the paradigm of "behavioral" optimization in the pursuit of individual self interests and societally efficient resource allocation, as well as for equilibrium paradigms where existence and stability problems in dynamics can often be stated as "potential" problems in optimization. For this reason, books in mathematical economics and in mathematics for economists devote considerable attention to optimization theory. However, with very few exceptions, the reader who is interested in further study is left with the impression that there is no further place to go to and that what is in these second hand sources is all these is available as far as the subject of optimization theory is concerned. On the other hand the main results from mathematics are often carelessly stated or, more often than not, they do not get to be formally stated at all. Furthermore, it should be well understood that economic theory in general and, mathematical economics in particular, must be classified as special types of applied mathematics or, more precisely, of motivated mathematics since tools of mathematical analysis are used to prove theorems in an economics context in the manner in which probability theory may be classified. Hence, rigor and correct scholarship are of utmost importance and can not be subject to compromise.