Extensions and Absolutes of Hausdorff Spaces

گسترش فضای توپولوژیکی X فضایی است که X را به عنوان یک زیرفضای متراکم در خود دارد. ساخت پسوند از انواع مختلف - فشرده سازی، فشرده سازی واقعی، پسوند H-elosed- از دیرباز یک حوزه اصلی مطالعه در توپولوژی عمومی بوده است. یک روش فراگیر برای ساختن پسوند یک فضا این است که اجازه دهید \"نقاط جدید\" پسوند اولترافیلتر روی شبکه‌های خاص مرتبط با فضا باشد. نمونه‌هایی از این شبکه‌ها عبارتند از: شبکه مجموعه‌های باز، شبکه مجموعه‌های صفر و شبکه مجموعه‌های elopen. یک ساختار کمتر شناخته شده در توپولوژی عمومی، "مطلق" یک فضا است. مرتبط با هر فضای هاسدورف X یک فضای هاسدورف صفر بعدی EX فوق العاده جدا شده است که مطلق ایلیامای X نامیده می شود، و یک فراروی کامل، تقلیل ناپذیر و پیوسته از EX به X است. بحث مفصل درباره اهمیت مطلق در مطالعه توپولوژی و کاربردهای آن در ابتدای فصل 6 ظاهر می شود. آنچه در اینجا ما را نگران می کند این است که در بیشتر ساختارهای مطلق، نقاط EX اولترافیلترهای خاصی روی شبکه های مرتبط با X هستند. بنابراین پسوندها و مطلق ها، اگرچه بسیار متفاوت هستند، اما با استفاده از ابزارهای مشابه ساخته شده است.

An extension of a topological space X is a space that contains X as a dense subspace. The construction of extensions of various sorts - compactifications, realcompactifications, H-elosed extension- has long been a major area of study in general topology. A ubiquitous method of constructing an extension of a space is to let the "new points" of the extension be ultrafilters on certain lattices associated with the space. Examples of such lattices are the lattice of open sets, the lattice of zero-sets, and the lattice of elopen sets. A less well-known construction in general topology is the "absolute" of a space. Associated with each Hausdorff space X is an extremally disconnected zero-dimensional Hausdorff space EX, called the Iliama absolute of X, and a perfect, irreducible, a-continuous surjection from EX onto X. A detailed discussion of the importance of the absolute in the study of topology and its applications appears at the beginning of Chapter 6. What concerns us here is that in most constructions of the absolute, the points of EX are certain ultrafilters on lattices associated with X. Thus extensions and absolutes, although very different, are constructed using similar tools.