Exponential Functionals of Brownian Motion and Related Processes

این تک نگاری شامل: - ده مقاله نوشته شده توسط نویسنده و نویسندگان مشترک بین دسامبر 1988 و اکتبر 1998 در مورد برخی از عملکردهای نمایی حرکت براونی و فرآیندهای مرتبط، که در طول تاریخ مورد توجه بوده و هنوز هم هستند. حداقل در دهه گذشته، به محققان در امور مالی ریاضی. - مقدمه ای بر موضوع از دیدگاه مالی ریاضی اثر H. Geman. منشأ علاقه من به مطالعه نمایی حرکت براونی در رابطه با مالی ریاضی سوالی است که برای اولین بار توسط S. Jacka در وارویک در دسامبر 1988 و بعد از آن توسط M. Chesney در ژنو و H. Geman از من پرسیده شد. پاریس، برای محاسبه قیمت گزینه های آسیایی، i. ه. : تا حد امکان، یک عبارت صریح برای: (1) که در آن A~v) = I~ dsexp2 (Bs + liS)، با (Bs,s:::::: 0) یک حرکت براونی با ارزش واقعی . از آنجایی که روند نمایی حرکت براونی همراه با رانش، که معمولاً به آن: حرکت براونی هندسی گفته می شود، ممکن است به صورت: t ::::: 0، (2) نشان داده شود که در آن (Rt)، u ::::: 0) نشان دهنده 15- است. فرآیند بسل ابعادی، با 5 = 2 (1I+1)، به نظر واضح می رسید که با شروع از (2) [که مشابه نمایش فلر از انتشار خطی X از نظر حرکت براونی، از طریق تابع مقیاس و سرعت است. اندازه گیری X]، محاسبه کمیت های مربوط به (1) باید امکان پذیر باشد، به ویژه: با تکیه بر محاسبات قبلی برای فرآیندهای بسل.

This monograph contains: - ten papers written by the author, and co-authors, between December 1988 and October 1998 about certain exponential functionals of Brownian motion and related processes, which have been, and still are, of interest, during at least the last decade, to researchers in Mathematical finance; - an introduction to the subject from the view point of Mathematical Finance by H. Geman. The origin of my interest in the study of exponentials of Brownian motion in relation with mathematical finance is the question, first asked to me by S. Jacka in Warwick in December 1988, and later by M. Chesney in Geneva, and H. Geman in Paris, to compute the price of Asian options, i. e. : to give, as much as possible, an explicit expression for: (1) where A~v) = I~ dsexp2(Bs + liS), with (Bs,s::::: 0) a real-valued Brownian motion. Since the exponential process of Brownian motion with drift, usually called: geometric Brownian motion, may be represented as: t ::::: 0, (2) where (Rt), u ::::: 0) denotes a 15-dimensional Bessel process, with 5 = 2(1I+1), it seemed clear that, starting from (2) [which is analogous to Feller's repre­ sentation of a linear diffusion X in terms of Brownian motion, via the scale function and the speed measure of X], it should be possible to compute quan­ tities related to (1), in particular: in hinging on former computations for Bessel processes.