Existence and Regularity Properties of the Integrated Density of States of Random Schrödinger Operators

نظریه عملگرهای تصادفی شرودینگر به تجزیه و تحلیل ریاضی همیلتونی های مکانیک کوانتومی که جامدات بی نظم را مدل می کنند اختصاص دارد. جدا از اهمیت آن در فیزیک، این موضوع به خودی خود یک موضوع چندوجهی است که از ایده ها و روش هایی از رشته های مختلف ریاضی مانند آنالیز تابعی، عملگرهای خود الحاقی، PDE، فرآیندهای تصادفی و روش های چند مقیاسی استفاده می کند.
متن حاضر به تفصیل توضیح می دهد. کمیتی که ویژگی های طیفی عملگرهای تصادفی را کد می کند: چگالی یکپارچه حالت ها یا تابع توزیع طیفی. رویکردهای مختلفی برای ساخت چگالی یکپارچه حالت‌ها و اثبات ویژگی‌های منظم بودن آن ارائه شده است.

این تنظیم به اندازه‌ای کلی است که برای عملگرهای تصادفی در منیفولدهای ریمانی با یک عمل گروهی گسسته اعمال شود. ارجاعات و بحث در مورد سایر ویژگی های IDS، و همچنین مدل های متنوعی فراتر از مواردی که در اینجا به تفصیل پرداخته شده است، گنجانده شده است.

The theory of random Schrödinger operators is devoted to the mathematical analysis of quantum mechanical Hamiltonians modeling disordered solids. Apart from its importance in physics, it is a multifaceted subject in its own right, drawing on ideas and methods from various mathematical disciplines like functional analysis, selfadjoint operators, PDE, stochastic processes and multiscale methods.
The present text describes in detail a quantity encoding spectral features of random operators: the integrated density of states or spectral distribution function. Various approaches to the construction of the integrated density of states and the proof of its regularity properties are presented.

The setting is general enough to apply to random operators on Riemannian manifolds with a discrete group action. References to and a discussion of other properties of the IDS are included, as are a variety of models beyond those treated in detail here.