Exercices résolus du cours de mathematiques, tome 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie

TABLE DES MATIÈRES......Page 8
Introduction......Page 12
§ 1.1 Formes bilinéaires, exercices......Page 14
§ 1.2 Formes bilinéaires en dimension finie......Page 16
§ 1.3 Formes quadratiques......Page 19
§ 1.4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires......Page 21
§ 1.5 Classification des formes bilinéaires......Page 28
§ 1.6 Algorithme de Gauss......Page 37
§ 1.7 Automorphismes d'une forme quadratique......Page 44
§ II.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences......Page 46
§ II.2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel......Page 50
§ II.3 Familles orthonormales......Page 53
§ II.4 Première étude des groupes orthogonaux......Page 65
§ II.5 Produit mixte et produit vectoriel......Page 74
§ III.1 Générations d'un groupe euclidien......Page 80
§ III.2 Adjoint d'un endomorphisme......Page 86
§ III.3 Diagonalisation des endomorphismes symétriques......Page 88
§ III.4 Endomorphismes normaux d'un espace euclidien......Page 103
§ IV.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes......Page 105
§ IV.2 Formes hermitiennes en dimension finie......Page 107
§ IV.3 Espaces préhilbertiens......Page 112
§ IV.4 Matrices unitaires, groupes unitaires en dimension finie......Page 116
§ IV.5 Adjoint d'un endomorphisme......Page 123
§ V.2 Applications affines, groupe affine......Page 144
§ V.3 Sous-espaces affines......Page 148
§ V.4 Barycentres......Page 151
§ V.5 Applications affines remarquables......Page 156
§ V.6 Convexité......Page 159
§ V.7 Géométrie affine en dimension 2 ou 3......Page 165
§ VI.1 Généralités ; isométries......Page 171
§ VI.2 Structure des isométries......Page 178
§ VI.3 Exemples de groupes d'isométries......Page 185
§ VI.4 Angles......Page 189
§ VI.5 Distances, droites et plans......Page 192
§ VI.6 Similitudes......Page 196
§ VI.7 Cercles, sphères......Page 198
§ VII.1 Courbes paramétrées......Page 204
§ VII.2 C^k-équivalence des courbes paramétrées......Page 216
§ VII.3 Contact......Page 225
§ VII.4 Etude locale affine des courbes paramétrées......Page 230
§ VII.5 Exemples et applications......Page 233
§ VIII.1 Familles de droites à un paramètre......Page 247
§ VIII.2 Point caractéristique, enveloppe......Page 254
§ VIII.3 Exemples d'enveloppes de droites......Page 259
§ IX.1 Fonctions angulaires......Page 268
§ IX.2 Longueur d'une courbe......Page 278
§ IX.3 Abscisses curvilignes, courbure......Page 280
§ IX.4 Courbure des courbes planes......Page 284
§ IX.5 Courbes planes définies par leur courbure algébrique......Page 303
§ IX.6 Développées, parallèles, développantes......Page 310
§ X.1 Polynômes de degré 2 sur E......Page 318
§ X.2 Zéros d'un polynôme de degré 2 sur E......Page 320
§ X.3 Intersection avec une droite......Page 327
§ X.4 Coniques en géométrie euclidienne......Page 333
§ XI.1 Surfaces paramétrées......Page 361
§ XI.2 Etude géométrique des plans tangents......Page 368
§ XI.3 Cylindres, cônes, surfaces réglées......Page 372
§ XI.4 Surfaces de révolution......Page 379
§ XII.1 Fonctions polynomiales de degré 2 sur E......Page 386
§ XII.2 Zéros d'une fonction f de P2......Page 387
§ XII.3 Quadriques, droites et plans......Page 393
§ XII.4 Quadriques en géométrie euclidienne......Page 401
§ XII.5 Quelques problèmes classiques sur les quadriques......Page 411
Bibliographie......Page 430