Euclidean Geometry and its Subgeometries

در این تک نگاری، نویسندگان توسعه مدرن هندسه اقلیدسی را از بدیهیات مستقل، با استفاده از زبان به روز و ارائه شواهد دقیق ارائه می کنند. بدیهیات بروز، بین بودن، و جدایی صفحه نزدیک به بدیهیات هیلبرت است. این تنها روش بدیهی هندسه اقلیدسی است که از بدیهیات استفاده می کند که مفاهیم متریک را در بر نمی گیرد و همخوانی و ایزومتریک ها را با استفاده از نگاشت بازتابی بررسی می کند. نویسندگان سیزده بدیهیات را به ترتیب ارائه می‌کنند، تا آنجا که ممکن است در هر مرحله قضایا را اثبات می‌کنند و در این فرآیند، هندسه‌های فرعی، به ویژه هندسه‌های Pasch و خنثی را ایجاد می‌کنند. موضوعات استاندارد مانند قضایای همخوانی برای مثلث ها، تعبیه اعداد حقیقی در یک خط، و هماهنگی صفحه، و همچنین قضایای فیثاغورث، دسارگوس، پاپاس، منلائوس و سیوا گنجانده شده است. فصل پایانی سازگاری و استقلال بدیهیات و همچنین استقلال ویژگی‌های تعریف را پوشش می‌دهد.
بیش از 300 تمرین وجود دارد. راه‌حل‌های بسیاری از این موارد، از جمله تمام موارد مورد نیاز برای این توسعه، به صورت آنلاین در صفحه اصلی کتاب در www.springer.com موجود است. مواد تکمیلی به صورت آنلاین در دسترس است که ساخت اعداد مختلط، طول قوس، توابع دایره‌ای، اندازه‌گیری زاویه و شکل چند ضلعی قضیه منحنی جردن را پوشش می‌دهد.
هندسه اقلیدسی و زیرهندسه‌های آن برای دانش‌آموزان پیشرفته و ریاضیدانان بالغ در نظر گرفته شده است، اما شواهد کاملاً بررسی شده‌اند تا برای دانشجویان مقطع کارشناسی نیز قابل دسترسی باشد. می‌توان آن را تکمیل، به‌روزرسانی و گسترش کار هیلبرت دانست که شکافی را در ادبیات موجود پر می‌کند.

In this monograph, the authors present a modern development of Euclidean geometry from independent axioms, using up-to-date language and providing detailed proofs. The axioms for incidence, betweenness, and plane separation are close to those of Hilbert. This is the only axiomatic treatment of Euclidean geometry that uses axioms not involving metric notions and that explores congruence and isometries by means of reflection mappings. The authors present thirteen axioms in sequence, proving as many theorems as possible at each stage and, in the process, building up subgeometries, most notably the Pasch and neutral geometries. Standard topics such as the congruence theorems for triangles, embedding the real numbers in a line, and coordinatization of the plane are included, as well as theorems of Pythagoras, Desargues, Pappas, Menelaus, and Ceva. The final chapter covers consistency and independence of axioms, as well as independence of definition properties.
There are over 300 exercises; solutions to many of these, including all that are needed for this development, are available online at the homepage for the book at www.springer.com. Supplementary material is available online covering construction of complex numbers, arc length, the circular functions, angle measure, and the polygonal form of the Jordan Curve theorem.
Euclidean Geometry and Its Subgeometries is intended for advanced students and mature mathematicians, but the proofs are thoroughly worked out to make it accessible to undergraduate students as well. It can be regarded as a completion, updating, and expansion of Hilbert's work, filling a gap in the existing literature.