Essentials of Measure Theory

این کتاب درسی از نظر رویکرد کلاسیک در دو بخش طراحی و تدوین شده است. بخش اول برای شروع دوره تحصیلات تکمیلی یک ترم در تئوری اندازه گیری، پیشنهاد یک رویکرد "انتزاعی" برای اندازه گیری و ادغام، که در آن موارد عینی کلاسیک اندازه گیری Lebesgue و Lebesgue انتگرال به عنوان یک مورد خاص مهم از نظریه عمومی ارائه شده است. قسمت دوم متن پیشرفته تر است و مخاطب با تجربه تر است. این مطالب برای پوشش یک دوره تحصیلات تکمیلی یک ترم دیگر پس از دوره اول طراحی شده است که با اندازه گیری و ادغام در فضاهای توپولوژیکی سروکار دارد.

بخش پایانی هر فصل در قسمت اول مشکلاتی را ارائه می دهد که برای هر یک از آنها ضروری است. فصلی که اکثر آن شامل نتایج کمکی، بسط نظریه، مثال‌ها و مثال‌های متقابل است. مسائلی که به شدت تئوری هستند نکاتی همراه دارند. آخرین بخش هر فصل از بخش دوم شامل گزاره های اضافی است که حاوی نتایج کمکی و تکمیلی است. کل کتاب شامل مجموعه‌هایی از خواندن‌های پیشنهادی در پایان هر فصل است تا رویکردها، اثبات‌ها و مسیرهای جایگزین به سوی نتایج اضافی را برجسته کند.

با پیش‌نیازهای کوچک، این متن برای پاسخگویی به نیازهای یک دوره معاصر در تئوری اندازه گیری برای دانشجویان ریاضی و همچنین برای مخاطبان گسترده تری از جمله آمار، اقتصاد، مهندسی و فیزیک قابل دسترسی است. بخش اول ممکن است برای دانش‌آموزان پیشرفته‌ای که پیش نیازهایی از جمله دوره مقدماتی تحلیل، جبر خطی (فقط فصل 5) و نظریه مجموعه‌های ابتدایی را برآورده می‌کنند، در دسترس باشد.

Classical in its approach, this textbook is thoughtfully designed and composed in two parts. Part I is meant for a one-semester beginning graduate course in measure theory, proposing an “abstract” approach to measure and integration, where the classical concrete cases of Lebesgue measure and Lebesgue integral are presented as an important particular case of general theory. Part II of the text is more advanced and is addressed to a more experienced reader. The material is designed to cover another one-semester graduate course subsequent to a first course, dealing with measure and integration in topological spaces.

The final section of each chapter in Part I presents problems that are integral to each chapter, the majority of which consist of auxiliary results, extensions of the theory, examples, and counterexamples. Problems which are highly theoretical have accompanying hints. The last section of each chapter of Part II consists of Additional Propositions containing auxiliary and complementary results. The entire book contains collections of suggested readings at the end of each chapter in order to highlight alternate approaches, proofs, and routes toward additional results.

With modest prerequisites, this text is intended to meet the needs of a contemporary course in measure theory for mathematics students and is also accessible to a wider student audience, namely those in statistics, economics, engineering, and physics. Part I may be also accessible to advanced undergraduates who fulfill the prerequisites which include an introductory course in analysis, linear algebra (Chapter 5 only), and elementary set theory.