Ergodic Theory

نظریه ارگودیک یکی از معدود شاخه های ریاضیات است که در طول دو دهه اخیر به شدت تغییر کرده است. قبل از این دوره، به استثنای تعداد کمی از موارد، نظریه ارگودیک عمدتاً به مسائل میانگین‌گیری و سؤالات کیفی کلی می‌پرداخت، در حالی که اکنون ترکیبی قدرتمند از روش‌های مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل ویژگی‌های آماری سیستم‌های دینامیکی است. به همین دلیل، مشکلات نظریه ارگودیک اکنون نه تنها ریاضیدان، بلکه پژوهشگران فیزیک، زیست شناسی، شیمی و غیره را نیز مورد توجه قرار می دهد. طرح کلی این کتاب نزدیک به ده سال پیش برای ما روشن شد، اما به دلایل مختلف، نوشتن به مدت زمان طولانی نیاز داشت. اصل اصلی که ما از ابتدا به آن پایبند بودیم، توسعه رویکردها و روش ها یا نظریه ارگودیک در مطالعه نمونه های ملموس متعدد بود. به همین دلیل، بخش اول کتاب شامل شرح کلاس‌های مختلف سیستم‌های دینامیکی و تحلیل ابتدایی آنها بر اساس مفاهیم بنیادی ارگودیسیته، اختلاط و طیف‌های سیستم‌های دینامیکی است. در اینجا، مانند بسیاری موارد دیگر، صفت «ابتدایی» مترادف با «ساده» نیست. بخش دوم به «نظریه ارگودی انتزاعی» اختصاص دارد. سیستم های دینامیکی، لم روهلین- هالموس و نظریه نمایش های ویژه سیستم های دینامیکی با زمان پیوسته. بخش قابل توجهی با آنتروپی سروکار دارد.

Ergodic theory is one of the few branches of mathematics which has changed radically during the last two decades. Before this period, with a small number of exceptions, ergodic theory dealt primarily with averaging problems and general qualitative questions, while now it is a powerful amalgam of methods used for the analysis of statistical properties of dyna­ mical systems. For this reason, the problems of ergodic theory now interest not only the mathematician, but also the research worker in physics, biology, chemistry, etc. The outline of this book became clear to us nearly ten years ago but, for various reasons, its writing demanded a long period of time. The main principle, which we adhered to from the beginning, was to develop the approaches and methods or ergodic theory in the study of numerous concrete examples. Because of this, Part I of the book contains the description of various classes of dynamical systems, and their elementary analysis on the basis of the fundamental notions of ergodicity, mixing, and spectra of dynamical systems. Here, as in many other cases, the adjective" elementary" i~ not synonymous with "simple. " Part II is devoted to "abstract ergodic theory. " It includes the construc­ tion of direct and skew products of dynamical systems, the Rohlin-Halmos lemma, and the theory of special representations of dynamical systems with continuous time. A considerable part deals with entropy.