Equazioni a derivate parziali: Complementi ed esercizi

این مجموعه مسائل و تمرین‌ها از تجربه به‌دست‌آمده در دوره معادلات مشتق جزئی (EDP) که به عنوان بخشی از درجه‌های سطح اول و دوم در Politecnico di Milano برگزار می‌شود، ناشی می‌شود. جلد به دو بخش تقسیم می شود. در چهار فصل اول، هدف استفاده از تکنیک‌های کلاسیک، مانند جداسازی متغیرها، اصل حداکثر یا تبدیل‌های لاپلاس و فوریه، برای حل مشکلات انتشار، انتقال و ارتعاش است. فصل پنجم شما را دعوت می کند تا با نتایج اساسی در فضاهای هیلبرت، در تئوری توزیع ها (یا توابع تعمیم یافته) شوارتز و در فضاهای رایج تر سوبولف آشنا شوید. فصل ششم و آخر به فرمول بندی متغیر یا ضعیف مهمترین مسائل اولیه و/یا مرزی برای معادلات بیضوی و تکاملی می پردازد. مقدمه هر فصل شامل خلاصه ای از پرکاربردترین ابزارهای نظری است. تمرین ها به دو گروه تقسیم می شوند: مسائل حل شده، که مدل های روش شناختی مرجع را تشکیل می دهند که راه حل آنها به طور مفصل ارائه شده است. تمرین‌های پیشنهادی، که از خواننده دعوت می‌شود تا به طور مستقل به آنها بپردازد. راه حل برای این موارد نیز ارائه شده است، گاهی اوقات به صورت خلاصه. این متن عمدتا برای دانشجویان رشته های مهندسی، فیزیک و ریاضیات است، اما همچنین یک نقطه مرجع مفید برای کسانی است که مایل به تعمیق برخی از جنبه های نظری و مدل سازی این رشته مهم هستند.

La presente raccolta di problemi ed esercizi nasce dall'esperienza maturata durante il corso di Equazioni a Derivate Parziali (EDP), tenuto nell'ambito delle lauree di primo e secondo livello presso il Politecnico di Milano. Il volume è diviso in due parti; nei primi quattro capitoli l'obiettivo è l'uso di tecniche classiche, come la separazione delle variabili, il principio di massimo o le trasformate di Laplace e Fourier, per risolvere problemi di diffusione, trasporto e vibrazione. Il quinto capitolo invita a familiarizzare con i risultati di base negli spazi di Hilbert, nella teoria delle distribuzioni (o funzioni generalizzate) di Schwartz e in quella degli spazi di Sobolev più comuni. Il sesto ed ultimo capitolo riguarda la formulazione variazionale o debole dei più importanti problemi iniziali e/o al bordo per equazioni ellittiche e di evoluzione. L'introduzione ad ogni capitolo contiene una sintesi degli strumenti teorici più utilizzati. Gli esercizi sono suddivisi in due gruppi: i problemi risolti, che costituiscono dei modelli metodologici di riferimento, la cui soluzione è presentata in dettaglio; gli esercizi proposti, che il lettore è invitato ad affrontare autonomamente. Anche di questi è presentata la soluzione, a volte in forma sintetica. Il testo è rivolto prevalentemente a studenti di Ingegneria, Fisica e Matematica, ma costituisce un utile punto di riferimento anche per coloro che desiderano approfondire alcuni aspetti teorici e modellistici di questa importante disciplina.