Endliche Permutationsgruppen

این کتاب درباره گروه‌های جایگشت، رویکردی برای طبقه‌بندی گروه‌های بدوی، همراه با اثبات‌های مدرن نتایج کلاسیک ارائه می‌دهد که هنوز به شکل کتاب ظاهر نشده‌اند. ملاحظات تقارن اجسام هندسی نقش مهمی در بسیاری از علوم طبیعی بازی می‌کند و می‌توان با استفاده از گروه‌های جایگشت به‌صورت ریاضی مدل‌سازی کرد. پس از تجزیه هر گروه جایگشت به بخش های ابتدایی آن در این کتاب، قضیه مهم طبقه بندی اشباخر-اون-اسکات را اثبات می کنیم که طبق آن هر گروه اولیه دقیقاً به یکی از پنج خانواده تعلق دارد. این نتیجه اجازه می‌دهد، برای مثال، گروه‌های 2-گذری به طور صریح مشخص شوند، به طوری که در ادامه می‌توانیم روی گروه‌های اولیه که 2-گذر نیستند تمرکز کنیم. تئوری زیرشاخه‌های توسعه‌یافته برای این منظور ما را قادر می‌سازد تا یک مورد خاص از قضیه فیت تامپسون را به عنوان یک کاربرد اثبات کنیم. علاوه بر اطلاعات زیادی در مورد پیشرفت های جاری، بیش از 100 تمرین با راه حل های کامل برای خودآزمایی در دسترس دانش آموزان است. فقط دانش یک سخنرانی جبر مورد نیاز است که به موجب آن اصول نظریه گروه ابتدایی را در فصل اول تکرار می کنیم. این کار با یک پیوست با اثبات های جایگزین و کدهای منبع برای سیستم های جبری رایانه ای GAP و MAGMA گرد شده است.

Dieses Buch über Permutationsgruppen bietet neben modernen Beweisen klassischer Ergebnisse, die bislang nicht in Buchform erschienen sind, einen Zugang zur Klassifikation der primitiven Gruppen. Symmetriebetrachtungen von geometrischen Objekten spielen in vielen Naturwissenschaften eine bedeutende Rolle und lassen sich mathematisch durch Permutationsgruppen modellieren. Nachdem wir in diesem Buch eine beliebige Permutationsgruppe in ihre primitiven Bestandteile zerlegt haben, beweisen wir den wichtigen Klassifikationssatz von Aschbacher-O'Nan-Scott, wonach jede primitive Gruppe zu genau einer von fünf Familien gehört. Dieses Resultat erlaubt es zum Beispiel die 2-transitiven Gruppen explizit anzugeben, sodass wir uns im Folgenden auf die primitiven Gruppen, die nicht 2-transitiv sind, konzentrieren können. Die hierfür entwickelte Theorie der Subgrade ermöglicht uns als Anwendung einen Spezialfall des Satzes von Feit-Thompson zu beweisen. Neben zahlreichen Informationen über aktuelle Entwicklungen stehen dem Studierenden über 100 Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen zur Selbstkontrolle zur Verfügung. Vorausgesetzt werden lediglich Kenntnisse einer Algebra-Vorlesung, wobei wir die Grundlagen der elementaren Gruppentheorie im ersten Kapitel wiederholen. Abgerundet wird das Werk durch einen Anhang mit alternativen Beweisen und Quellcodes für die Computeralgebrasysteme GAP und MAGMA.