Endliche Korper: Verstehen, Rechnen, Anwenden

در هر تلفن همراه، پخش‌کننده سی‌دی و رایانه یک تراشه وجود دارد که سیستمی از معادلات خطی را در یک میدان محدود با سرعت رعد و برق حل می‌کند تا مواد داده‌های اشتباه را تصحیح کند. بنابراین این کتاب عملکرد درونی ریاضی چنین تراشه ای را توضیح می دهد. فیلدهای محدود (اصطلاحاً فیلدهای گالوا) محدوده اعدادی هستند که فقط تعداد محدودی از اعداد دارند که هنوز هم می توان آنها را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد. هدف اصلی کتاب توضیح و تمرین به روش ابتدایی نحوه انجام این محاسبات است. در عمل، این محاسبات بر اساس محاسبات 0.1 کامپیوتر است. یک میدان محدود با 2 عنصر از بیت های 0,1 تشکیل شده است. هشت بیت یک بایت را تعریف می کند و این بایت ها عناصر یک فیلد با 256 عنصر هستند.

این کتاب برای کسانی است که با زبان ریاضی ناآشنا نیستند و می خواهند. برای دانستن اینکه میدان های محدود چگونه کار می کنند. آشنایی خاصی با مفاهیم اساسی جبر خطی، مانند مفاهیمی که در یک سخنرانی در مورد ریاضیات مهندسی تمرین می شود، فرض می شود. اگرچه متن هدفمند است، اما مقدمه ای ابتدایی برای جبر نیز ارائه می دهد، زیرا میدان های محدود را نمی توان بدون مفاهیم - گروه، فضای برداری، حلقه، میدان و چند جمله ای توضیح داد.

In jedem Handy, CD-Player und Computer steckt ein Chip, der lineare Gleichungssystem über einem endlichen Körper blitzschnell löst, um fehlerbehaftetes Datenmaterial zu korrigieren; dieses Buch erklärt also das mathematische Innenleben eines solchen Chips. Endliche Körper (sogenannte Galoisfelder) sind Zahlbereiche mit nur endlich vielen Zahlen, die man trotzdem addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Das Hauptanliegen des Buches ist es, auf elementare Weise zu erklären und zu üben, wie diese Rechnungen ausgeführt werden. In der Praxis beruht diese Arithmetik auf der 0,1- Arithmetik des Computers. Ein endlicher Körper mit 2 Elementen besteht aus den bits 0,1; acht bits erklären ein byte, und diese bytes sind die Elemente eines Körpers mit 256 Elementen.

Das Buch wendet sich an jeden, dem die mathematischen Sprache nicht fremd ist und der wissen möchte, wie endliche Körper funktionieren. Vorausgesetzt wird eine gewisse Vertrautheit mit den Grundbegriffen der linearen Algebra, wie sie etwa in einer Vorlesung Ingenieurmathematik geübt werden. Obwohl der Text zielgerichtet ist, bietet er auch eine elementare Einführung in die Algebra, denn endliche Körper können ohne die Begriffe - Gruppe, Vektorraum, Ring, Körper und Polynom - nicht erklärt werden.