Embeddings and Extensions in Analysis

هدف این کتاب ارائه نتایج عمده مربوط به دو مسئله الهام گرفته از هندسی در تحلیل است. یکی از آنها تعیین این است که کدام فضاهای متریک را می توان به صورت ایزومتریک در فضای هیلبرت یا به طور کلی تر، P در فضای L قرار داد. دیگری شرایطی را بر روی یک جفت فضاهای متریک می خواهد که اطمینان حاصل کند که هر انقباض یا هر نقشه Lipschitz-Holder از زیر مجموعه ای از X به Y قابل گسترش به نقشه ای از همان نوع از X به Y است. کار اولیه روی جاسازی ایزومتریک توسط K. Menger [1928] با بررسی های متریک او در مورد هندسه های اقلیدسی آغاز شد و در فرمول بندی تحلیلی آن توسط I. J. Schoenberg [1935] در مجموعه ای از مقالات ظرافت کلاسیک ادامه یافت. مشکل گسترش Lipschitz-Holder و نقشه های انقباض اولین بار توسط E. J. McShane و M. D. Kirszbraun [1934] مورد بررسی قرار گرفت. پس از یک دوره عدم فعالیت نسبی، توجه دوباره به این دو مشکل توسط کار G. Minty بر روی عملگرهای یکنواخت غیرخطی در فضای هیلبرت [1962] جلب شد. توسط کار بنیادی S. Schonbeck در توصیف آن جفت (X,Y) از فضاهای Banach که برای آنها گسترش انقباض همیشه ممکن است [1966]. و با تعمیم بسیاری از قضایای جاسازی شوئنبرگ به مجموعه P فضاهای L توسط برتاگنول، داچونا کاستل و کریوین [1966].

The object of this book is a presentation of the major results relating to two geometrically inspired problems in analysis. One is that of determining which metric spaces can be isometrically embedded in a Hilbert space or, more generally, P in an L space; the other asks for conditions on a pair of metric spaces which will ensure that every contraction or every Lipschitz-Holder map from a subset of X into Y is extendable to a map of the same type from X into Y. The initial work on isometric embedding was begun by K. Menger [1928] with his metric investigations of Euclidean geometries and continued, in its analytical formulation, by I. J. Schoenberg [1935] in a series of papers of classical elegance. The problem of extending Lipschitz-Holder and contraction maps was first treated by E. J. McShane and M. D. Kirszbraun [1934]. Following a period of relative inactivity, attention was again drawn to these two problems by G. Minty's work on non-linear monotone operators in Hilbert space [1962]; by S. Schonbeck's fundamental work in characterizing those pairs (X,Y) of Banach spaces for which extension of contractions is always possible [1966]; and by the generalization of many of Schoenberg's embedding theorems to the P setting of L spaces by Bretagnolle, Dachuna Castelle and Krivine [1966].