Eléments de la théorie des fonctions et de l’analyse fonctionnelle

Page de titre......Page 1
Préface à l'édition française......Page 3
2. Opérations sur les ensembles......Page 5
1. Application d'un ensemble dans un autre. Notion générale de fonction......Page 8
2. Partition d'un ensemble. Relation d'équivalence......Page 10
1. Ensembles finis et infinis......Page 13
2. Ensembles dénombrables......Page 14
3. Ensembles équipotents......Page 17
4. Non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels......Page 18
6. Notion de puissance d'un ensemble......Page 20
1. Ensembles ordonnés......Page 23
3. Types d'ordre. Ensembles totalement ordonnés......Page 24
4. Somme ordinale d'ensembles totalement ordonnés......Page 25
5. Ensembles bien ordonnés. Nombres transfinis......Page 26
6. Comparaison des nombres ordinaux......Page 28
7. Axiome du choix, théorème de Zermelo et leurs équivalents......Page 30
8. Récurrence transfinie......Page 32
1. Anneau d'ensembles......Page 33
2. Demi-anneau d'ensembles......Page 34
3. Anneau engendré par un demi-anneau......Page 36
4. σ-algèbres......Page 37
5. Familles d'ensembles et applications......Page 38
1. Définition et exemples......Page 40
2. Applications continues d'un espace métrique dans un autre. Isométrie......Page 47
1. Points d'accumulation. Fermeture......Page 49
2. Convergence......Page 50
3. Sous-ensembles denses......Page 51
4. Ensembles: ouverts et ensembles fermés......Page 52
5. Ensembles ouverts et fermés sur la droite......Page 54
1. Définition et exemples d'espaces métriques complets......Page 58
2. Théorème des boules emboîtées......Page 61
3. Théorème de Baire......Page 62
4. Complétion d'un espace......Page 63
1. Principe des contractions......Page 66
2. Applications simples du principe des contractions......Page 67
3. Théorèmes d'existence et d'unicité pour des équations différentielles......Page 70
4. Application du principe des contractions aux équations intégrales......Page 73
1. Définition et exemples d'espaces topologiques......Page 76
3. Systèmes fondamentaux de voisinages. Base. Axiomes de dénombrabilité......Page 78
4. Suites convergentes dans T......Page 82
5. Applications continues. Homéomorphisme......Page 83
6. Axiomes de séparation......Page 85
7. Différentes méthodes de définition de la topologie sur un espace. Métrisabilité......Page 89
1. Notion de compacité......Page 90
2. Applications continues des espaces compacts......Page 92
3. Fonctions continues et semi-continues définies sur un espace compact......Page 93
4. Compacité dénombrable 97 5. Ensembles précompacts......Page 97
1. Ensembles totalement bornés......Page 98
2. Espaces totalement bornés et compacité......Page 100
3. Ensembles précompacts dans un espace métrique......Page 101
4. Théorème d'Arzelà......Page 102
5. Théorème de Péano......Page 105
6. Continuité uniforme. Applications continues des compacts métriques......Page 106
7. Théorème généralisé d'Arzelà......Page 107
§8. Courbes continues dans les espaces métriques......Page 108
1. Définition et exemples d'espaces vectoriels......Page 113
2. Dépendance linéaire......Page 115
3. Sous-espaces vectoriels......Page 116
4. Espaces quotients......Page 117
5. Fonctionnelles linéaires......Page 118
6. Interprétation géométrique des fonctionnelles linéaires......Page 120
1. Ensembles convexes et corps convexes......Page 122
3. Fonctionnelle de Minkowski......Page 125
4. Théorème de Hahn-Banach......Page 127
5. Séparation des ensembles convexes dans un espace vectoriel......Page 130
§3. Espaces normés......Page 131
1. Définition et exemples d'espaces normés......Page 132
2. Sous-espaces d'un espace normé......Page 133
1. Définition d'un espace euclidien......Page 135
2. Exemples......Page 137
3. Existence de bases orthogonales, orthogonalisation......Page 138
4. Inégalité de Bessel. Systèmes orthogonaux fermés......Page 141
5. Espaces euclidiens complets. Théorème de Riesz-Fischer......Page 145
6. Espace de Hilbert. Théorème de l'isomorphisme......Page 147
7. Sous-espaces, orthogonalité, somme directe......Page 150
8. Propriété caractéristique des espaces euclidiens......Page 154
9. Espaces euclidiens complexes......Page 157
1. Définition et exemples......Page 159
2. Convexité locale......Page 162
3. Espaces dénombrablement normés......Page 163
1. Fonctionnelles linéaires continues sur un espace vectoriel topologique......Page 167
2. Fonctionnelles linéaires sur un espace normé......Page 168
3. Théorème de Hahn-Banach dans un espace normé......Page 171
4. Fonctionnelles linéaires sur un espace dénombrablement normé......Page 173
2. Topologie forte sur l'espace dual......Page 174
3. Exemples d'espaces duals......Page 177
4. Espace bidual......Page 182
1. Topologie faible et convergence faible dans un espace vectoriel topologique......Page 184
2. Convergence faible dans un espace normé......Page 186
3. Topologie faible et convergence faible dans l'espace dual......Page 189
4. Ensembles bornés dans l'espace dual......Page 192
1. Extension de la notion de fonction......Page 195
2. Espace des fonctions de base......Page 196
3. Distributions......Page 197
4. Opérations sur les distributions......Page 199
5. Suffisance de l'ensemble des fonctions de base......Page 202
6. Détermination d'une distribution connaissant sa dérivée. Équations différentielles dans l'ensemble des distributions......Page 203
7. Quelques généralisations......Page 206
1. Définition et exemples d'opérateurs linéaires......Page 210
2. Opérateurs linéaires bornés et continuité......Page 213
3. Somme et produit d'opérateurs......Page 215
4. Opérateur inverse, inversibilité......Page 216
5. Opérateurs adjoints......Page 221
6. Opérateurs adjoints dans un espace euclidien. Opérateurs auto-adjoints......Page 223
7. Spectre d'un opérateur. Résolvante......Page 224
1. Définition et exemples d'opérateurs compacts......Page 227
2. Propriétés fondamentales des opérateurs compacts......Page 232
3. Valeurs propres d'un opérateur compact......Page 234
4. Opérateurs compacts dans un espace de Hilbert......Page 235
5. Opérateurs compacts auto-adjoints dans H......Page 236
1. Mesure des ensembles élémentaires......Page 241
2. Mesure de Lebesgue sur le plan......Page 245
3. Compléments et généralisations......Page 252
2. Prolongement de la mesure d'un demi-anneau à l'anneau qu'il engendre......Page 255
3. σ-additivité......Page 258
1. Prolongement selon Lebesgue d'une mesure définie sur un demi-anneau avec unité......Page 261
2. Prolongement d'une mesure donnée sur un demi-anneau sans unité......Page 265
3. Extension de la notion de mesurabilité dans le cas d'une mesure σ-finie......Page 267
4. Prolongement d'une mesure selon Jordan......Page 269
5. Unicité du prolongement d'une mesure......Page 271
1. Définition et propriétés fondamentales des fonctions mesurables......Page 272
2. Opérations sur les fonctions mesurables......Page 274
3. Équivalence......Page 276
4. Convergence presque partout......Page 277
5. Théorème d'Egorov......Page 278
6. Convergence en mesure......Page 279
§5. Intégrale de Lebesgue......Page 282
2. Intégrale de Lebesgue pour les fonctions simples......Page 283
3. Définition générale de l'intégrale de Lebesgue sur un ensemble de mesure finie......Page 286
4. σ-additivité et continuité absolue de l'intégrale de Lebesgue......Page 288
5. Passage à la limite sous le signe de l'intégrale de Lebesgue......Page 293
6. Intégrale de Lebesgue sur un ensemble de mesure infinie......Page 297
7. Comparaison de l'intégrale de Lebesgue à l'intégrale de Riemann......Page 298
1. Produits des familles d'ensembles......Page 301
2. Produits des mesures......Page 303
3. Expression de la mesure d'un ensemble du plan par l'intégrale de la mesure linéaire de ses coupes. Définition géométrique de l'intégrale de Lebesgue......Page 305
4. Théorème de Fubini......Page 308
CHAPITRE VI. INTÉGRALE INDÉFINIE DE LEBESGUE. THÉORIE DE LA DÉRIVATION......Page 312
1. Propriétés fondamentales des fonctions monotones......Page 313
2. Dérivabilité d'une fonction monotone......Page 317
§2. Fonctions à variation bornée......Page 324
§3. Dérivée de l'intégrale indéfinie de Lebesgue......Page 329
§4. Recherche d'une fonction connaissant sa dérivée. Fonctions absolument continues......Page 332
1. Charges. Décompositions de Hahn et de Jordan......Page 342
3. Charges absolument continues. Théorème de Radon-Nikodym......Page 345
1. Mesures de Stieltjes......Page 349
2. Intégrale de Lebesgue-Stieltjes......Page 351
3. Quelques applications de l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes en théorie des probabilités......Page 353
4. Intégrale de Riemann-Stieltjes......Page 355
5. Passage à la limite sous le signe de l'intégrale de Stieltjes......Page 359
6. Forme générale des fonctionnelles linéaires continues sur l'espace de fonctions continues......Page 363
1. Définition et propriétés fondamentales de l'espace L₁......Page 367
2. Ensembles partout denses dans L₁......Page 369
1. Définition et propriétés fondamentales......Page 373
2. Cas d'un espace de mesure infinie......Page 376
3. Ensembles partout denses dans L₂ . Théorème de l'isomorphisme......Page 378
5. La convergence en moyenne quadratique et sa liaison avec d'autres types de convergence des suites de fonctions......Page 379
§3. Systèmes orthogonaux de fonctions dans L₂. Séries par rapport à un système orthogonal......Page 381
1. Système trigonométrique. Série trigonométrique de Fourier......Page 382
2. Systèmes trigonométriques sur le segment [0,π]......Page 385
3. Série de Fourier sous forme complexe......Page 386
4. Polynômes de Legendre......Page 387
5. Systèmes orthogonaux dans un produit d'espaces. Séries de Fourier multiples......Page 389
6. Polynômes orthogonaux par rapport à un poids donné......Page 392
7. Base orthogonale dans l'espacel L₂(-∞,∞). Fonctions d'Hermite......Page 393
8. Polynômes orthogonaux par rapport à un poids discret......Page 395
9. Systèmes de Haar, de Rademacher et de Walsh......Page 397
1. Conditions suffisantes de convergence de la série de Fourier en un point......Page 399
2. Conditions de convergence uniforme de la série de Fourier......Page 405
1. Théorème de Fejér......Page 408
2. Complétude du système trigonométrique. Théorème de Weierstras8......Page 411
1. Théorème fondamental......Page 412
2. L'intégrale de Fourier sous forme complexe......Page 415
1. Transformation de Fourier et formule d'inversion......Page 416
2. Propriétés fondamentales de la transformation de Fourier......Page 421
3. Complétude des systèmes des fonctions d'Hermite et de Laguerre......Page 424
4. Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide......Page 425
5. Transformation de Fourier et convolution......Page 426
6. Application de la transformation de Fourier à l'équation de la chaleur......Page 427
7. Transformation de Fourier des fonctions de plusieurs variables......Page 428
1. Théorème de Plancherel......Page 431
2. Fonctions d'Hermite......Page 435
1. Définition et propriétés fondamentales de la transformation de Laplace......Page 438
2. Application de la transformation de Laplace à la résolution des équations différentielles méthode opératoriel1e)......Page 439
1. Définition de la transformation de Fourier-Stieltjes......Page 441
2. Applications de la transformation de Fourier-Stieltjes en théorie des probabilités......Page 443
§8. Transformation de Fourier des distributions......Page 445
1. Types d'équations intégrales......Page 449
2. Exemples de problèmes conduisant à des équations intégrales......Page 450
1. Opérateur intégral de Fredholm......Page 453
2. Équations à noyau symétrique......Page 457
3. Théorèmes de Fredholm. Cas des noyaux dégénérés......Page 458
4. Théorèmes de Fredholm pour les équations à noyaux non dégénérés......Page 461
5. Équations de Volterra......Page 465
6. Équations intégrales de première espèce......Page 466
1. Spectre d'un opérateur compact dans H......Page 467
2. Recherche de la solution sous forme d'une série de puissances de λ. Déterminants de Fredholm......Page 468
1. Différentielle forte différentielle de Fréchet)......Page 474
2. Différentielle faible différentielle de Gâteaux)......Page 476
3. Formule des accroissements finis......Page 477
4. Relation entre les notions de différentiabilité faible et forte......Page 478
5. Fonctionnelles différentiables......Page 479
7. Intégrale......Page 480
8. Dérivées d'ordre supérieur......Page 482
10. Formule de Taylor......Page 485
1. Condition nécessaire pour l'existence d'un extremum......Page 487
2. Différentielle seconde. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum......Page 490
3. Méthode de Newton......Page 493
1. Algèbres de Banach. Isomorphisme des algèbres de Banach......Page 498
2. Exemples d'algèbres de Banach......Page 499
3. Idéaux maximaux......Page 501
§2. Spectre et résolvante......Page 502
2. Propriétés du spectre......Page 503
3. Théorème du rayon spectral......Page 506
1. Théorème de l'algèbre quotient......Page 507
1. Fonctionnelles linéaires continues multiplicatives et idéaux maximaux......Page 509
2. Topologie sur l'ensemble M. Théorèmes fondamentaux......Page 511
3. Théorème de Wiener ; exercices......Page 515
Bibliographie......Page 518
Répartition de la bibliographie par chapitres......Page 520
Index......Page 521