Elliptic Regularity Theory: A First Course

این یادداشت‌های سخنرانی مقدمه‌ای مستقل از نظریه نظم برای معادلات و سیستم‌های بیضوی در فرم واگرایی ارائه می‌دهند. پس از بررسی کوتاهی از برخی نتایج کلاسیک در مورد نظم در همه جا برای راه‌حل‌های ضعیف با مقدار اسکالر، ارائه بر روی راه‌حل‌های ضعیف با ارزش برداری برای یک سیستم از چندین معادله جفت شده تمرکز می‌کند. در حالت برداری، راه حل های ضعیف ممکن است ناپیوستگی داشته باشند و به طور کلی انتظار می رود که فقط خارج از مجموعه ای از اندازه صفر منظم باشند. چندین روش در رابطه با اثبات چنین نتایج نظم جزئی ارائه شده است و نظم بهینه مورد بحث قرار می گیرد. در نهایت، یک مرور کوتاه در مورد وضعیت فعلی هنر در مورد اندازه مجموعه تکی که ممکن است ناپیوستگی روی آن رخ دهد، ارائه می‌شود.

یادداشت‌ها برای دانشجویان فارغ‌التحصیل و کارشناسی ارشد با پیش‌زمینه‌ای قوی در تحلیل عملکردی در نظر گرفته شده است. و آشنایی با معادلات دیفرانسیل جزئی آنها همچنین برای محققانی که روی موضوعات مرتبط کار می کنند مورد علاقه خواهند بود.

These lecture notes provide a self-contained introduction to regularity theory for elliptic equations and systems in divergence form. After a short review of some classical results on everywhere regularity for scalar-valued weak solutions, the presentation focuses on vector-valued weak solutions to a system of several coupled equations. In the vectorial case, weak solutions may have discontinuities and so are expected, in general, to be regular only outside of a set of measure zero. Several methods are presented concerning the proof of such partial regularity results, and optimal regularity is discussed. Finally, a short overview is given on the current state of the art concerning the size of the singular set on which discontinuities may occur.

The notes are intended for graduate and postgraduate students with a solid background in functional analysis and some familiarity with partial differential equations; they will also be of interest to researchers working on related topics.