Elliptic Differential Equations and Obstacle Problems

در چند سالی که از ظهور آنها در اواسط دهه شصت می گذرد، نابرابری های متغیر به حدی و کاملاً توسعه یافته اند که اکنون می توان آنها را توسعه "نهادی" نظریه معادلات دیفرانسیل (با بازخورد قابل ملاحظه) دانست. همانطور که نشان داده خواهد شد). این کتاب با توجه به این ملاحظات هم از نظر انتخاب موضوعات و هم در مورد پرداختن به آنها نوشته شده است. به طور خلاصه، تقریباً قصد من این بود که کتابی در مورد عملگرهای بیضوی درجه دوم بنویسم، با نیمه اول کتاب، همانطور که انتظار می رود، به فضاهای تابع و نظریه خطی اختصاص داشته باشد، در حالی که نیمه دوم غیرخطی به تغییرات مربوط می شود. نابرابری ها و مسائل موانع غیر متغیری، به جای مثلاً معادلات شبه خطی یا کاملاً غیرخطی (به استثنای چند مورد که بعداً به آنها باز خواهم گشت). این رویکرد من را بر آن داشت تا با وجود اهمیت تاریخی و مستمر آنها در ایجاد نابرابری های متغیر، هیچ اشاره ای به انگیزه های «فیزیکی» به معنای وسیع کلمه را حذف نکنم. من در اینجا خود را خطاب به خواننده‌ای بالقوه می‌دانم که کم و بیش از نقش مهم نابرابری‌های متغیر در زمینه‌های متعدد ریاضیات کاربردی آگاه است و می‌تواند از ارائه تحلیلی نظریه بنیادی استفاده کند که تا حد امکان عمومی و مستقل باشد. p>

In the few years since their appearance in the mid-sixties, variational inequalities have developed to such an extent and so thoroughly that they may now be considered an "institutional" development of the theory of differential equations (with appreciable feedback as will be shown). This book was written in the light of these considerations both in regard to the choice of topics and to their treatment. In short, roughly speaking my intention was to write a book on second-order elliptic operators, with the first half of the book, as might be expected, dedicated to function spaces and to linear theory whereas the second, nonlinear half would deal with variational inequalities and non variational obstacle problems, rather than, for example, with quasilinear or fully nonlinear equations (with a few exceptions to which I shall return later). This approach has led me to omit any mention of "physical" motivations in the wide sense of the term, in spite of their historical and continuing importance in the development of variational inequalities. I here addressed myself to a potential reader more or less aware of the significant role of variational inequalities in numerous fields of applied mathematics who could use an analytic presentation of the fundamental theory, which would be as general and self-contained as possible.