Elements of Mathematics: A Problem-Centered Approach to History and Foundations

این کتاب درسی ارائه دقیقی از ریاضیات قبل از ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال ارائه می دهد. مفاهیم اساسی در جبر، هندسه و نظریه اعداد از پایه های نظریه مجموعه ها در امتداد یک مسیر ابتدایی و مبتنی بر تحقیق توسعه می یابند. مثال‌های تامل‌برانگیز و مسائل چالش‌برانگیز که از رقابت‌های ریاضی الهام گرفته شده‌اند، به این نظریه انگیزه می‌دهند، در حالی که نکات تاریخی مکرر داستان چگونگی توسعه اولیه ایده‌ها را نشان می‌دهد.

با بررسی کامل اعداد طبیعی از طریق بدیهیات Peano، شروع شد. فصل های آغازین بر ایجاد سیستم های اعداد طبیعی، انتگرال، گویا و واقعی تمرکز دارند. هندسه صفحه از طریق بدیهیات هندسه متریک بیرخوف معرفی می‌شود و فصل‌هایی درباره چندجمله‌ای‌ها از عملیات‌های حسابی، ریشه‌ها و عبارات چند متغیره فاکتورگیری می‌کنند. یک طبقه‌بندی ابتدایی از مخروط‌ها، و به دنبال آن مطالعه عمیق عبارات عقلانی ارائه شده است. توابع نمایی، لگاریتمی، و مثلثاتی تصویر را کامل می کنند که توسط نابرابری هایی هدایت می شوند که آنها را با توابع چند جمله ای و گویا مقایسه می کنند. بدیهیات و محدودیت‌ها پایه‌ی درمان را در سرتاسر قرار می‌دهند و نه تنها ابزارهای قدرتمندی را ارائه می‌دهند، بلکه بینش‌هایی را در مورد ارتباطات غیر پیش پاافتاده بین موضوعات ارائه می‌دهند.

عناصر ریاضیات برای دانش‌آموزانی که به دنبال مطالبی عمیق و جذاب هستند ایده‌آل است. چالش ریاضی بر اساس ابزار ابتدایی خواه ارتقای برنامه درسی اولیه دوره کارشناسی برای افراد با موفقیت بالا، یا ساختن یک سنگ بنای ارشد انعکاسی، مدرسان مطالب کافی برای تحقیق در مورد رشته های ریاضی پیدا خواهند کرد. هیچ پیش نیاز رسمی فراتر از جبر دبیرستان در نظر گرفته نشده است، و این کتاب را برای محافل ریاضی و آماده سازی مسابقه ایده آل می کند. خوانندگانی که در مطالعات ریاضی خود پیشرفته‌تر هستند، از تلاقی ایده‌ها و جزئیات تاریخی روشنگر قدردانی خواهند کرد.

This textbook offers a rigorous presentation of mathematics before the advent of calculus. Fundamental concepts in algebra, geometry, and number theory are developed from the foundations of set theory along an elementary, inquiry-driven path. Thought-provoking examples and challenging problems inspired by mathematical contests motivate the theory, while frequent historical asides reveal the story of how the ideas were originally developed.

Beginning with a thorough treatment of the natural numbers via Peano’s axioms, the opening chapters focus on establishing the natural, integral, rational, and real number systems. Plane geometry is introduced via Birkhoff’s axioms of metric geometry, and chapters on polynomials traverse arithmetical operations, roots, and factoring multivariate expressions. An elementary classification of conics is given, followed by an in-depth study of rational expressions. Exponential, logarithmic, and trigonometric functions complete the picture, driven by inequalities that compare them with polynomial and rational functions. Axioms and limits underpin the treatment throughout, offering not only powerful tools, but insights into non-trivial connections between topics.

Elements of Mathematics is ideal for students seeking a deep and engaging mathematical challenge based on elementary tools. Whether enhancing the early undergraduate curriculum for high achievers, or constructing a reflective senior capstone, instructors will find ample material for enquiring mathematics majors. No formal prerequisites are assumed beyond high school algebra, making the book ideal for mathematics circles and competition preparation. Readers who are more advanced in their mathematical studies will appreciate the interleaving of ideas and illuminating historical details.