Elements of KK-Theory

تئوری KK کاسپاروف اکنون تقریباً دوازده ساله است. قدرت، کاربرد و اهمیت آن به خوبی نشان داده شده است. با این وجود، این موضوع همچنان یک موضوع بسیار دشوار است که می توان با آن کار کرد و یاد گرفت. دلایل زیادی برای این وجود دارد. برای یک چیز، نظریه KK چندین رژیم ریاضی سنتی متفاوت را در بر می گیرد. برای دیگری، ادبیات پراکنده و دشوار است. بسیاری از مقالات اصلی خواننده را ملزم می‌کنند که جزئیات استدلال‌ها را تنها بر اساس طرح کلی شواهد ارائه کند. در نهایت، این موضوع به خودی خود از تعدادی بخش دشوار تشکیل شده است که هر یک نیازمند مطالعه طولانی و فشرده است. پرداختن به برخی از این مشکلات است که هدف ما از نوشتن این کتاب به هم پیوسته است و این امکان را برای خواننده فراهم می‌کند که با نظریه "شروع" کند. ما تلاشی برای ارائه یک رساله جامع در مورد تمام جنبه های نظریه KK نکرده ایم. به نظر می رسد موضوع در این مرحله برای تسلیم شدن به چنین رفتاری بسیار حیاتی است. آنچه برای ما مهمتر به نظر می رسید، ارائه به موقع عناصر بسیار اساسی تئوری، کارکرد گروه های KK و محصول کاسپاروف بود.

The KK-theory of Kasparov is now approximately twelve years old; its power, utility and importance have been amply demonstrated. Nonethe­ less, it remains a forbiddingly difficult topic with which to work and learn. There are many reasons for this. For one thing, KK-theory spans several traditionally disparate mathematical regimes. For another, the literature is scattered and difficult to penetrate. Many of the major papers require the reader to supply the details of the arguments based on only a rough outline of proofs. Finally, the subject itself has come to consist of a number of difficult segments, each of which demands prolonged and intensive study. is to deal with some of these difficul­ Our goal in writing this book ties and make it possible for the reader to "get started" with the theory. We have not attempted to produce a comprehensive treatise on all aspects of KK-theory; the subject seems too vital to submit to such a treatment at this point. What seemed more important to us was a timely presen­ tation of the very basic elements of the theory, the functoriality of the KK-groups, and the Kasparov product.