Elements de geometrie: Niveau M1

Avant-propos......Page 6
Remerciements......Page 8
Table des matières......Page 10
1.1 Différentiabilité en un point, régularité Cr......Page 14
1.2 Difféomorphismes et inversion locale ; immersion et submersion......Page 18
1.3 Points critiques, valeurs critiques, lemme de Sard......Page 24
1.4 Lemme de Morse, singularités de Morse......Page 26
1.5.1 Germes d'ensemble et de fonction différentiable en un point......Page 30
1.5.2 Trois descriptions de l'espace tangent à R^n en un point......Page 33
1.5.3 Application linéaire tangente à un germe d'application C°°......Page 37
1.5.4 Espace cotangent à R^n en un point a......Page 38
1.6 Espaces tangent et cotangent à un ouvert de R^n......Page 40
1.7 Le calcul extérieur sur un ouvert de R^n......Page 42
1.8 Cohomologie de de Rham d'un ouvert de R^n......Page 44
1.9.1 La notion de simplexe orienté de R^n......Page 53
1.9.2 L'image réciproque des formes différentielles......Page 56
1.9.4 Chaînes singulières d'un ouvert U de R^n......Page 60
1.9.5 Intégration d'une p-forme sur une p-chaîne......Page 62
2.1.1 Cartographie sur un espace topologique......Page 66
2.1.2 Le concept de variété de classe C^r......Page 70
2.1.3 Variétés analytiques réelles et analytiques complexes......Page 74
2.1.4 La construction d'une variété par recollement "forcé" de cartes......Page 78
2.1.6 Les espaces projectifs P^n(R) et P^n(C)......Page 79
2.1.7 Morphismes entre variétés......Page 83
2.2 Le concept de "tangence"......Page 87
2.2.1 Espace tangent en un point à une variété différentielle......Page 89
2.2.2 Application linéaire tangente......Page 93
2.2.3 Rang, immersions, submersions, plongements......Page 95
2.2.4 Notion de sous-variété......Page 99
2.3.1 Notion topologique de revêtement, exemples......Page 104
2.3.2 Structure quotient sur une variété : la problématique générale......Page 108
2.3.3 Quotient par action d'un groupe de difféomorphismes......Page 109
3.1 Un premier modèle de fibre : le fibré tangent......Page 122
3.2 Le concept de fibré vectoriel......Page 125
3.3 Le fibré cotangent, ses puissances extérieures......Page 130
3.4 Partitionnement de l'unité......Page 135
3.5.1 Le calcul extérieur et la cohomologie de de Rham......Page 137
3.5.2 Le calcul de H°(X)......Page 138
3.5.3 La longue suite exacte de Mayer-Vietoris......Page 139
3.5.4 Quelques exemples significatifs......Page 142
3.5.5 Formes volume, variétés orientables ; orientation......Page 145
3.5.6 Intégration sur une variété différentielle orientable......Page 150
3.5.7 La notion de variété à bord et l'énoncé du théorème de Stokes......Page 152
3.6.1 Le groupe de cohomologie H^dimX(X) et les nombres de Betti......Page 156
3.6.2 Degré d'un morphisme ; théorème du degré ; exemples......Page 161
3.6.3 La notion d'homotopie ; degré et homotopie......Page 165
3.6.4 Indice local d'un champ de vecteur en un point singulier isolé......Page 168
3.6.5 Quelques exercices autour de l'invariance du degré par homotopie......Page 169
3.7 Homologie singulière et théorème de de Rham......Page 170
4.1 Classification des courbes différentielles......Page 174
4.2.1 Abscisse curviligne le long d'une courbe; courbure, centre de courbure......Page 176
4.2.2 Repère de Frenet attaché à une courbe gauche ; torsion......Page 180
4.2.3 Classification locale des courbes de R^3 via les invariants locaux......Page 182
4.3.1 Surfaces topologiques et somme connexe......Page 184
4.3.2 Les surf aces topologiques sous l'angle de la combinatoire......Page 187
4.3.3 Triangulation d'une surface......Page 192
4.3.4 Classification des surfaces compactes connexes......Page 198
4.3.5 Orientabilité topologique d'une surface connexe compacte......Page 199
4.3.6 Homologie singulière d'une surface connexe compacte......Page 200
4.4.1 Notion de métrique sur une variété différentielle......Page 204
4.4.2 Notion de repère mobile......Page 206
4.4.3 Notion de connexion sur le fibré tangent ; connexion duale......Page 207
4.4.4 Connexion associée à une métrique riemannienne......Page 210
4.4.5 Courbure d'une connexion......Page 218
4.4.6 De l'utilisation du repère mobile à l'application de Gauss attachée à une surface immergée dans R^3......Page 222
4.4.7 Les deux formes fondamentales associées à une surface immergée dans R^3......Page 227
4.4.8 Un formulaire pour les calculs de courbure de surfaces paramétrées......Page 229
4.5.1 Forme d'aire sur une surface riemannienne connexe compacte orientée......Page 234
4.5.2 Le théorème de Gauss-Bonnet et quelques corollaires......Page 236
5.1.1 Surfaces de Riemann ; exemples......Page 246
5.1.2 Morphismes entre surfaces de Riemann......Page 248
5.1.3 Le principe G.A.G.A et le théorème de Liouville......Page 254
5.1.4 Formes holomorphes ou méromorphes sur une surface de Riemann......Page 255
5.1.5 Groupe des diviseurs ; notions de degré......Page 261
5.2.1 L'espace projectif P^n(C) revisité......Page 265
5.2.2 Ensembles algébriques affines et projectifs......Page 267
5.2.3 Décomposition des sous-ensembles algébriques affines de C^n......Page 270
5.2.4 Élimination et théorème des zéros de Hilbert......Page 272
5.2.5 Sur la surface de Riemann d'une fonction algébrique......Page 282
5.3.1 Courbes et 1-cycles algébriques dans P^2(C)......Page 287
5.3.2 Points réguliers et singuliers ; tangentes, cône tangent......Page 289
5.4.1 Multiplicité locale d'intersection (vision analytique)......Page 295
5.4.2 Le théorème de Bézout, approche "analytique"......Page 299
5.4.3 Le théorème de Bézout, vision "algébro-géométrique"......Page 301
5.4.4 Quelques conséquences du théorème de Bézout......Page 305
5.5.1 Les espaces Sd et P(Sd)......Page 310
5.5.2 Sur les coniques......Page 312
5.5.3 Courbe hessienne ; inflexions d'une courbe projective plane......Page 314
5.5.4 Sur les cubiques......Page 316
6.1 Solutions des exercices du chapitre 1......Page 326
6.2 Solutions des exercices du chapitre 2......Page 336
6.3 Solutions des exercices du chapitre 3......Page 345
6.4 Solutions des exercices du chapitre 4......Page 358
6.5 Solutions des exercices du chapitre 5......Page 368
Repères bibliographiques......Page 376
Index......Page 378