Eléments d'analyse. : 1 : fondements de l'analyse moderne, chapitres I à XI

Avant-propos......Page 8
Introduction......Page 10
Plan de l\'ouvrage......Page 14
Table des matières......Page 16
Chapitre I Éléments de la théorie des ensembles......Page 26
1. Éléments et ensembles......Page 27
2. Calcul booléien......Page 28
3. Produit de deux ensembles......Page 29
4. Applications......Page 30
5. Images directes et réciproques......Page 32
6. Applications surjectives, injectives, bijectives......Page 34
7. Composition d\'applications......Page 35
8. Familles d\'éléments. Réunion et intersection de familles d\'ensembles......Page 36
9. Ensembles dénombrables......Page 39
1. Axiomes des nombres réels......Page 42
2. Structure d\'ordre des nombres réels......Page 43
3. Borne supérieure et borne inférieure......Page 48
Chapitre III Espaces métriques......Page 54
1. Distances et espaces métriques......Page 55
2. Exemples de distances......Page 56
3. Isométries......Page 57
4. Boules, sphères, diamètre......Page 59
5. Ensembles ouverts......Page 60
6. Voisinages......Page 61
7. Intérieur d\'un ensemble......Page 62
8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d\'un ensemble......Page 63
9. Parties denses, espaces séparables......Page 66
10. Sous-espaces d\'un espace métrique......Page 68
1. Continuité des opérations algébriques......Page 104
2. Fonctions monotones......Page 107
3. Logarithmes et exponentielles......Page 109
4. Les nombres complexes......Page 112
5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn......Page 114
1. Espaces normés et espaces de Banach......Page 116
2. Séries dans un espace normé......Page 120
3. Séries absolument convergentes......Page 122
4. Sous-espaces et produits finis d\'espaces normés......Page 127
5. Condition de continuité d\'une application multilinéaire......Page 128
6. Normes équivalentes......Page 131
7. Espaces d\'applications multilinéaires continues......Page 132
8. Hyperplans fermés et formes linéaires continues......Page 135
9. Espaces normés de dimension finie......Page 137
10. Espaces normés séparables......Page 139
1. Formes hermitiennes......Page 142
2. Formes hermitiennes positives......Page 144
3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet......Page 146
4. Somme hilbertienne d\'espaces de Hilbert......Page 150
5. Systèmes orthonormaux......Page 153
6. Orthonormalisation......Page 156
11. Applications continues......Page 70
12. Homéomorphismes. Distances équivalentes......Page 73
13. Limites......Page 75
14. Suites de Cauchy, espaces complets......Page 78
15. Théorèmes élémentaires de prolongement......Page 81
16. Espaces compacts......Page 83
17. Ensembles compacts......Page 87
18. Espaces localement compacts......Page 90
19. Espaces connexes et ensembles connexes......Page 92
20. Produit de deux espaces métriques......Page 97
1. Espaces de fonctions bornées......Page 158
2. Espaces de fonctions continues bornées......Page 160
3. Le théorème d\'approximation de Stone-Weierstrass......Page 162
4. Applications......Page 165
5. Ensembles équicontinus......Page 167
6. Fonctions réglées......Page 170
Chapitre VIII Calcul différentiel......Page 174
1. Dérivée d\'une application continue......Page 176
2. Règles formelles de dérivation......Page 178
3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues......Page 180
4. Dérivées des fonctions d\'une variable......Page 182
5. Le théorème de la moyenne......Page 185
6. Applications du théorème de la moyenne......Page 189
7. Primitives et intégrales......Page 192
8. Application : le nombre e......Page 199
9. Dérivées partielles......Page 200
10. Jacobiens......Page 203
11. Dérivée d\'une intégrale dépendant d\'un paramètre......Page 204
12. Dérivées d\'ordre supérieur......Page 207
13. Opérateurs différentiels......Page 216
14. Formule de Taylor......Page 218
Chapitre IX Fonctions analytiques......Page 226
1. Séries entières......Page 228
2. Substitution de séries entières dans une série entière......Page 230
3. Fonctions analytiques......Page 232
4. Le principe du prolongement analytique......Page 236
5. Exemples de fonctions analytiques; la fonction exponentielle; le nombre pi......Page 239
6. Intégration le long d\'une route......Page 246
7. Primitive d\'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe......Page 250
8. Indice d\'un point par rapport à un circuit......Page 251
9. La formule de Cauchy......Page 254
10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes......Page 259
11. Le théorème de Liouville......Page 262
12. Suites convergentes de fonctions analytiques......Page 263
13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques......Page 266
14. La série de Laurent......Page 268
15. Points singuliers isolés; pôles; zéros; résidus......Page 270
16. Le théorème des résidus......Page 274
17. Fonctions méromorphes......Page 276
1. Indice d\'un point par rapport à un lacet......Page 281
2. Applications essentielles dans le cercle unité......Page 282
3. Coupures du plan......Page 284
4. Arcs simples et courbes fermées simples......Page 285
Chapitre X Théorèmes d\'existence......Page 294
1. La méthode des approximations successives......Page 295
2. Fonctions implicites......Page 300
3. Le théorème du rang......Page 307
4. Equations différentielles......Page 313
5. Comparaison des solutions d\'équations différentielles......Page 315
6. Equations différentielles linéaires......Page 323
7. Dépendance des paramètres......Page 326
8. Dépendance des conditions initiales......Page 334
9. Le théorème de Frobenius......Page 339
Chapitre XI Théorie spectrale élémentaire......Page 344
1. Spectre d\'un opérateur continu......Page 345
2. Opérateurs compacts......Page 348
3. La théorie de F. Riesz......Page 352
4. Spectre d\'un opérateur compact......Page 355
5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert......Page 360
6. L\'équation intégrale de Fredholm......Page 373
7. Le problème de Sturm-Liouville......Page 382
1. Espaces vectoriels......Page 392
2. Applications linéaires......Page 394
3. Sommes directes de sous-espaces......Page 395
4. Bases. Dimension et codimension......Page 396
5. Matrices......Page 400
6. Applications multilinéaires. Déterminants......Page 401
Bibliographie......Page 406
Index......Page 408