Elementary Theory of Metric Spaces: A Course in Constructing Mathematical Proofs

دانشجویان علوم باید بیشتر وقت خود را صرف یادگیری نحوه انجام کارهای آزمایشگاهی کنند، حتی اگر قصد دارند به جای دانشمندان تجربی، نظری شوند. این مهم است که آنها بفهمند آزمایش ها چگونه انجام می شوند و نتایج به چه معناست. در علم، اعتبار ایده ها با آزمایش بررسی می شود. اگر یک ایده جدید در آزمایشگاه جواب نداد، باید دور انداخته شود. اگر کار کند، حداقل به صورت آزمایشی پذیرفته می شود. بنابراین، در علم، آزمایشات آزمایشگاهی سنگ محک برای پذیرش یا رد نتایج هستند. ریاضی متفاوت است. این بدان معنا نیست که آزمایش ها بخشی از موضوع نیستند. محاسبات عددی و بررسی موارد خاص و ساده شده در سوق دادن ریاضیدانان به حدس و گمان مهم هستند، اما پذیرش حدس به عنوان یک قضیه تنها زمانی حاصل می شود که یک برهان ساخته شده باشد. به عبارت دیگر، اثبات ها برای ریاضیات همان گونه که آزمایش های آزمایشگاهی برای علم هستند. بنابراین، دانش‌آموزان ریاضی باید بیاموزند که شواهد معتبر را بدانند و چگونه آنها را بسازند. چگونه این کار انجام می شود؟ مانند هر چیز دیگری، با انجام دادن. دانش آموزان ریاضی باید تلاش کنند تا نتایج را اثبات کنند و سپس کار خود را توسط ریاضیدانان مجرب مورد نقد قرار دهند. آنها باید به طور انتقادی شواهد، اعم از درست و نادرست را بررسی کنند و سبک خوب را درک کنند. البته آنها باید با اثبات های آسان شروع کنند و به موارد پیچیده تر بسازند.

Science students have to spend much of their time learning how to do laboratory work, even if they intend to become theoretical, rather than experimental, scientists. It is important that they understand how experiments are performed and what the results mean. In science the validity of ideas is checked by experiments. If a new idea does not work in the laboratory, it must be discarded. If it does work, it is accepted, at least tentatively. In science, therefore, laboratory experiments are the touchstones for the acceptance or rejection of results. Mathematics is different. This is not to say that experiments are not part of the subject. Numerical calculations and the examina­ tion of special and simplified cases are important in leading mathematicians to make conjectures, but the acceptance of a conjecture as a theorem only comes when a proof has been constructed. In other words, proofs are to mathematics as laboratory experiments are to science. Mathematics students must, therefore, learn to know what constitute valid proofs and how to construct them. How is this done? Like everything else, by doing. Mathematics students must try to prove results and then have their work criticized by experienced mathematicians. They must critically examine proofs, both correct and incorrect ones, and develop an appreciation of good style. They must, of course, start with easy proofs and build to more complicated ones.