Elementary Symplectic Topology and Mechanics

این یک تراکت کوتاه در مورد ضروریات هندسه دیفرانسیل و سمپلتیک به همراه مقدمه ای اساسی برای چندین کاربرد این چارچوب غنی است: مکانیک تحلیلی، حساب تغییرات، نقاط مزدوج و شاخص مورس، و سایر موضوعات فیزیکی. یکی از ویژگی های اصلی، استفاده سیستماتیک از زیرمنیفولدهای لاگرانژی و توابع تولید ماسلوف-هورماندر آنها است. به دنبال این خط فکری، که برای اولین بار توسط ولودمیرز تولکزیو معرفی شد، راه‌حل‌های هندسی معادلات همیلتون-ژاکوبی، میدان‌های برداری همیلتونی و تبدیل‌های متعارف توسط زیرمنیفولدهای لاگرانژی مناسب که به ساختارهای سمپلتیکی به خوبی تعریف شده‌اند، توصیف می‌شوند. این دیدگاه یکپارچه به ویژه در توپولوژی سمپلتیک، که محیط مدرن هامیلتونی برای محاسبه تغییرات است، مثمر ثمر بوده است، و شرایط وجودی کافی را ارائه می دهد. این خط تحقیق توسط کلود ویتربو در سال 1992 آغاز شد. در اینجا، برخی از پیامدهای اولیه این نظریه در فصل 8 نشان داده شده است: جنبه هایی از آخرین قضیه هندسی پوانکاره و حدس آرنولد معرفی شده است. در فصل 7 عناصر درمان مجانبی جهانی انتگرال های بسیار نوسانی برای معادله شرودینگر مورد بحث قرار می گیرند: همانطور که مشخص است، این در نهایت به نظریه عملگرهای انتگرال فوریه منجر می شود. این کتابچه راهنمای کوتاه برای دانشجویان فارغ التحصیل در رشته های ریاضی و فیزیک و برای همه کسانی که مایل به معرفی سریع این موضوعات زیبا هستند.

This is a short tract on the essentials of differential and symplectic geometry together with a basic introduction to several applications of this rich framework: analytical mechanics, the calculus of variations, conjugate points & Morse index, and other physical topics. A central feature is the systematic utilization of Lagrangian submanifolds and their Maslov-Hörmander generating functions. Following this line of thought, first introduced by Wlodemierz Tulczyjew, geometric solutions of Hamilton-Jacobi equations, Hamiltonian vector fields and canonical transformations are described by suitable Lagrangian submanifolds belonging to distinct well-defined symplectic structures. This unified point of view has been particularly fruitful in symplectic topology, which is the modern Hamiltonian environment for the calculus of variations, yielding sharp sufficient existence conditions. This line of investigation was initiated by Claude Viterbo in 1992; here, some primary consequences of this theory are exposed in Chapter 8: aspects of Poincaré's last geometric theorem and the Arnol'd conjecture are introduced. In Chapter 7 elements of the global asymptotic treatment of the highly oscillating integrals for the Schrödinger equation are discussed: as is well known, this eventually leads to the theory of Fourier Integral Operators. This short handbook is directed toward graduate students in Mathematics and Physics and to all those who desire a quick introduction to these beautiful subjects.